第六章
数学的学习与研究
601. 阅读任何代数论着时，首要之事是透彻理解其中展示的各个演算步骤及其相互联系。仅靠泛读——无论多么专注——都无法达成这一目标。数学着作不可能将学生必须内化的每个过程都详尽展开。许多结果（例如充斥于论证中的加法、乘法、开平方等运算）的细节会被省略。学生不应轻信这些内容，而必须亲自用笔演算——进行任何数学推演时，手中的笔都不可停歇。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章
读代数着作时，首务在于彻悟书中所示诸般算法，及算法间之关联。然纵悉心研读，亦不可仅靠阅读达成此境。数学着作中，诸多推演步骤需学者自心补全，方算尽握其要——书中每略去加减、乘算、开方等运算细节，而此类推导又俯拾皆是。学者切不可轻信书中结果，必以己笔演算；凡研数学，手中之笔不可暂辍。
——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章
602. 学生不应放过任何锻炼数值计算能力的机会，尤其是运用对数表的实践。他将数学应用于实际问题的能力，直接取决于其运算的熟练程度。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第12章
学者当不失任何机会操练数值计算，尤重对数表之运用。其将数学应用于实际问题之能力，与计算熟练度成正比。
——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第十二章
603. 初学者选择的练习题目应当简单，且避免包含极大数值。人的心智无法同时专注于两件事：若复杂的数字运算已耗尽全部注意力，便无暇观察所遵循法则的原理。——德摩根《数学的学习与难点》（芝加哥，1902年），第3章
初学者选习题，宜从简易者始，勿用大数。盖人之脑力不可分心二用：若数字繁复至耗竭心神，则无暇体悟算法之原理。
——德摩根《数学之研习与难点》（芝加哥，1902），第3章
604. 欧几里得与阿基米德被公认为智者，其论述皆经严谨证明。但若有人通读其着作时未能领悟证明的关联与结论的实质——即便理解全部字句——他依然一无所获。他或许会相信，却并不真正理解这些数学家的言说，因而其数学知识不会因阅读权威着作而有丝毫增进。——洛克，约翰《理解力指导》，第24节
世人皆谓欧几里得与阿基米德学识渊博，所言皆有论证。然若读其书而不解证明之脉络、不明推导之要旨，纵识其所有文字，亦未增学识。此乃信其言而非知其理，虽读名家经典，于数学之道实无进益。
——约翰·洛克《理解的指导》，第二十四节
605. 学生应以最持久的专注力研读着作，以把握每句话的含义。若书籍编写得当，这种精读必有所获：即便没有示例辅助，正文本身也应足够清晰。遗憾的是，读者常草率掠过正文，不作切实深入的理解，便急于通过例题来澄清本可通过细读正文消解的困惑。在我看来，严谨推敲文本的习惯有多重意义：对语言的缜密剖析，无论对学术研究还是现实生活都是极有价值的训练。在高等数学领域，这种习惯更不可或缺——冗长的论证中不可能处处插入示例，学者必须逐句攻克并掌握那些复杂而宏大的推理。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第67页
学者读典籍，当凝神细思，以求通晓每句真意。若书为佳作，必经得住细究，且文义自明，纵无例题亦不难解。然世人常匆匆掠过正文，不肯悉心思索，动辄依赖例题释疑——实则若深思文本，本不应有晦涩之处。于我而言，审慎研读正文之习惯至关重要：推敲文句，于治学与处世皆为可贵操练。至高深数学领域，此习惯更是必需——复杂长推导中，断无处处插例题之理，学者唯逐句攻克冗长论证。
——艾萨克·托德亨特《数学自学论；学科冲突及其他论文》（伦敦，1873），第67页
606. 难免会遇到无法理解或理解不透彻的段落，此时当如何应对？在给予合理程度的专注后，学生不妨暂时跳过，将晦涩处留待日后解决……自学者的自然倾向往往不是过早放弃难题，而是在其上耗费过长时间。不愿承认挫败的骄傲与不甘受阻的倔强，会驱使人持续努力——即便成功似乎无望。唯有经验能让我们确信：当心智彻底疲惫时，既无力沿既定方向有效推进，也缺乏开拓新径的弹性；而暂时搁置后再度回归，反而可能达成目标。——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第68页
书中或有不解或难解之处，当如何处之？于某段文字凝神思索后，可暂置不顾，留待他日再究……我以为，自学者常犯之病，非过早跳过难点，而是滞留过久——不甘认输之傲、不愿受挫之毅，皆促人在无望时仍强行苦思。唯历经世事方知：心力耗尽时，既难沿旧路前行，亦难另辟新径；暂离所研，他日再返，或能得偿所愿。
——托德亨特，伊萨克《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第68页
607. 任何值得研读的数学着作都必须以往复回环的方式阅读——若允许我如此表述。我会稍修改拉格朗日的建议：继续前进，但要时常折返以巩固信念。遇到艰涩乏味的段落时，不妨暂时跳过；待后文显明其重要性或实际需求时，再回头攻克。——克里斯塔尔，乔治《代数（第二部）》（爱丁堡，1889年），前言第8页
凡堪精研之算学典籍，皆宜循“往复周流”之法以读之。吾稍变拉格朗日之策曰：“勉力前行，然须常回溯以固其信。”遇诘屈难通之章，可暂置之；待后文彰显其要义或见诸实用时，再返而攻坚。
——克里斯塔尔，乔治《代数（第二部）》（爱丁堡，1889年），前言第8页
608. 现代剑桥数学教材中庞大的习题集堪称其独特标志——国外数学论着乃至早期英语教材都鲜见如此编排。这一现象表明：掌握数学未必需要永无止境的习题演练......不必困囿于例题，你们的主要任务（我甚至可以说唯一任务）应是透彻理解作者的正文。——托德亨特，伊萨克 《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第74页
今世剑桥算学教本，其习题浩繁，此诚为特色。异国算论，乃至昔时英人所着教本，鲜见如是编次。由此观之，欲通算学，未必穷极习题；诸君无庸拘于例题，务当精研正文，此诚为要务，甚至可谓唯一之务也。
——托德亨特，伊萨克 《数学自学指南》；《学科冲突及其他论文集》（伦敦，1873年），第74页
609. 依我之见，英国人在数学教材编撰艺术上堪称卓越。就理论阐述的清晰度与精选例题的丰富性而言，萨尔蒙等众多英国杰出学者的着作，在别国鲜有匹敌。——克莱莫纳，L. 《射影几何》[洛伊兹多夫译]（牛津，1885年），前言
以吾观之，英人于纂辑算学教本之术，可谓精妙。论理明晰，例题精当，如萨尔蒙等硕学鸿儒之着作，他国罕有其匹。
——克莱莫纳，L. 《射影几何》[洛伊兹多夫译]（牛津，1885年），前言
610. 对于已非数学初学者的研习者，破解导致荒谬结论的悖论，实为检验其是否真正领悟数学真理的绝佳途径。此法既能磨砺心智，又能将判断与理性严格约束于秩序疆界之内。——维奥拉，J. 《数学诡辩》（维也纳，1864年），序言
若夫算学有成之士，欲验其真知，莫若解悖论之惑。此道既砺心智，复束思虑于规矩之中，使判断与理性循规蹈矩。
——维奥拉，J. 《数学诡辩》（维也纳，1864年），序言
611. 问题求解的成败，很大程度上取决于选择最适宜的切入方法。以圆锥曲线为例：某些性质用纯几何只需寥寥数步即可证明，若改用三线坐标却需繁冗运算；而另一些性质在三线坐标系下几乎不言自明，用古典几何方法却可能根本无法论证。——惠特沃思，w.A. 《现代解析几何》（剑桥，1866年），第154页
解算学之题，其成败系于择法之当否。以圆锥曲线为例，某些性质，用纯几何之法，寥寥数步可证；若施三线坐标，则运算繁琐。亦有性质，于三线坐标系中，一目了然，然以古典几何解之，或不可得。
——惠特沃思，w.A. 《现代解析几何》（剑桥，1866年），第154页
612. 对自然的深入研究乃是数学发现最丰沛的源泉。通过为研究提供明确方向，这种探索能规避模糊问题与无效计算；更重要的，它本身就是锻造分析能力的必由之路，能揭示我们最应认知的核心要素——这些要素始终应是自然科学守护的瑰宝。——傅立叶，J. 《热的解析理论》，导论
穷究自然，乃算学创获之渊薮。此道不仅为研算指明方向，使免涉虚妄之题、无效之算，更可炼析理之能，彰自然之要，此皆为格物致知之瑰宝也。
——傅立叶，J. 《热的解析理论》，导论
613. 诚然所有物理现象都服从严格的数学规律，数学过程本身亦无懈可击。问题症结在于所采用的数据：绝大多数现象过于复杂，唯有实验验证才能确认是否已考量全部要素。因此实验实为数学结论的校验标准，且应当居于先行地位。——多尔贝尔，A.E. 《物质、以太与运动》（波士顿，1894年），第89页
物理诸象，皆循算理；算学推演，本无差谬。然其弊在于数据之择：大抵物理现象，繁复异常，非经实验，无以证其要素周全。故实验实为校验算学结论之圭臬，且当居先而行。
——多尔贝尔，A.E. 《物质、以太与运动》（波士顿，1894年），第89页
614. 学生应在早期就学会研读大师的经典着作，而不是通过大学里无休止的习题来让思维变得僵化。这些习题除了营造一个新的阿卡迪亚——用无意义的忙碌掩盖懒惰之外，没有任何用处……对经典范例的深入钻研总能培养出强者；如果我们新的科学一代想要配得上他们出生的时代和注定要面对的挑战，就必须这样做。
——贝尔特拉米《数学杂志》第11卷，第153页[杨，J.w.]
学子务于少学之龄，精研鸿儒巨制，勿溺于庠序无穷之习题，致灵台荒芜。此等习题，不过饰怠惰为虚忙，造新“桃源”幻境耳，实无裨益。古云：“仰观前贤妙谛，可铸英杰风骨。”今之新学俊秀，若欲膺时命、承重任，当循此道。
——贝尔特拉米《数学杂志》第11卷，第153页[杨，J.w.]
615. 数学史不仅有趣，还具有启发性；它不仅能让我们想起已有的知识，还能教我们如何增加知识储备。德摩根说过：人类早期在数学方面的思维历史能让我们指出自己的错误；在这方面，关注数学史是有好处的。数学史提醒我们不要轻易下结论；它指出了好的符号表示对科学进步的重要性；它通过展示看似不同的分支如何被发现有着意想不到的联系，来劝阻研究者不要过度专业化；它避免学生在可能早已解决的问题上浪费时间和精力；它阻止学生用导致其他数学家失败的同样方法去攻克未解决的问题；它告诉我们，除了直接进攻，还可以用其他方法拿下堡垒，当正面进攻被击退时，最好先侦察并占领周围的阵地，找出可以拿下看似无法攻克的阵地的秘密路径。
——卡乔里《数学史》（纽约，1897年），第1-2页
算学之史，兼具启智怡情之效。既可彰往圣之遗珍，复能拓后学之新知。德摩根尝言：“溯先民算学之思，可鉴今人之失。”诚哉斯言！观其史，可戒躁进之失，明符号之重；示殊途同归之妙，警专精偏废之弊；免学子耗力于故题，止其循败辙而攻难。更晓攻坚之道，非独正面而战，亦可逆势而谋，迂回以取，探幽径而破坚城。
——卡乔里《数学史》（纽约，1897年），第1 - 2页