528. 真正阻碍算术教学的最大问题，存在于那些所谓的“实用性”或“说明性”习题中。这些题目被随意布置给学生，其难度与复杂度完全不符合学生的年龄和心智发展水平……我本人并非数学门外汉，且天赋赋予我的推理能力早已发展成熟；但即便如此，我也时常被这类题目中隐含的复杂逻辑难住，甚至屡屡受挫——而这些题竟被布置给我的孩子。波士顿一所重点高中的校长曾向我坦言，他在辅导女儿完成作业时，有时也无法解开这类错综复杂的题目。今年夏天，英国牛津大学某学院的着名院长费尔贝恩博士告诉我，他自己在辅导孩子时遇到过类似困境；甚至有一次，他邀请英国一位顶尖数学家做客时，两人一起被一道算术难题完全难住了。
——F. A. 沃克《教育探讨》（纽约，1899年），第253-254页
算术之大病，在所谓“实用题”“说明题”。此类题随意授诸童子，其难其繁，与年齿心智全不相称……余非不晓算术，天赋之思亦早已成，然每为童子习题中幽隐逻辑所困，甚者竟不能解。今兹之题，竟布于吾子。尝闻波士顿一重点中学之校长语余曰：虽躬自课女，时有疑难，不能解其纷纭。今岁盛夏，英伦牛津大学某院之着誉院长费尔贝恩博士亦告余：辅导幼子时，每遇同类困蹇。尝延英伦算学泰斗至宅，相对执卷，竟共惑于一算术题而不能释。
——F. A. 沃克《教育论集》（纽约，1899年），第253-254页
529. 人们常常认为，小孩子既然没有能力系统地学习几何，就完全不需要教他们任何几何知识；又觉得既然不应该把物理学和力学当作科学教给孩子，那么任何物理或机械原理也都不必让他们接触。
这种错误观念造成了难以估量的危害。比如，学生刚开始学习数字时，仅仅因为他们还没掌握二次方程，就被禁止使用代数符号和方法！……整整一代孩子被困在算术题里，苦苦寻求解题方法却得不到指引，就像《圣经》里先知约拿的故事——只见枯萎的藤蔓，所有努力都白费，力气全用错了地方。 ——沃克，《工业教育》（1899年）
人们常认为，幼童既无系统研习几何之能，便无需授其任何几何知识；又谓既不宜以物理学、力学等科学示之，则一切物理机械原理亦不必教。
此等谬误贻害无穷，更有甚者：学者初习算术时，因尚未掌握二次方程，便断然禁其用代数符号与方法！……幼辈尽陷算术泥淖，苦求一法而不得，徒劳挣扎，如见先知约拿之兆——唯见枯萎藤蔓，空耗心力耳。
——沃克，《工业教育》（1899年）
530. 在解题时使用特殊技巧和临时方法，虽然可能比通用解法简洁许多倍，但在我看来，并不适合用来教导学生。就像离合诗之类的文字游戏，即使写得再精彩，如果想用它来教人写出奥维德那样的诗，那也是完全不对路的。 ——牛顿，1670年给科林斯的信
解题时若专用特殊权变之法，纵较通法简捷百倍，然以吾观之，实非启迪学子之正道。譬如离合诗之类，纵精巧绝伦，若用以教导志在奥维德诗艺者，亦属不当。 ——牛顿，1670年致科林斯函
531. 代数最重要的部分——它的逻辑思维，无论是从教育还是科学角度来看都至关重要，但现在完全被忽视了。整个教学变成了机械地刷题。解题本应是达到目的的手段，现在却成了目的本身。结果就是，我们现在教的代数既不是艺术也不是科学，只是一堆没有消化好的解题规则......虽然学生们拼命刷题应付考试，但看看考官们反复抱怨就知道，效果其实很差。更糟的是，这会让学习者思维僵化，养成几乎无法纠正的肤浅习惯，可以称之为解题瘫痪症——患者甚至无法理解超过一页纸长度的逻辑论证。
——克里斯托尔，1885年英国科学促进会主席演讲
代数之精要，其逻辑一端，无论于教育抑或科学皆为至重，今竟全然忽视。教学唯囿于例题演练，本为达意之器，反成所求之的。是以今日所授之代数，非艺非学，直一堆消化不良之解题成法……虽应试者众，然观考官屡加诟病，成效实堪怜悯。甚者，学者心智萎靡，浅薄之习难移，可谓习题瘫痪之症——患者竟不能通读八开纸一页之论证。
——克里斯托尔，1885年英国科学促进会主席演说
532. 美国跟着英国过分强调解题训练，这是个值得认真考虑的问题。可以肯定的是，我们的教科书在理论阐述方面，远远达不到欧洲大陆着作的水平——无论是法国教材的优雅风格、意大利学派的新颖方法，还是欧洲大陆作者普遍的高水准。
——史密斯，《初等数学教学》（1902年）
美国效法英国沉迷解题教学，此风当慎思。吾国教科书之理论阐述，实乏欧陆着作之妙趣——无论法派之优雅、意派之新锐，抑或欧陆诸家之普遍水准，皆未能企及。
——史密斯，《初等数学教学》（1902年）
533. 如今教科书作者的困境在于：必须把书写得如此精炼紧凑，以至于补习老师翻遍全书也找不出一个可以安全跳过不教的段落——即便是对只想及格的学生而言。我见过一些这样的教科书，其中的科学内容就像童谣里描述的淑女细腰般被压缩得如此纤细，厚度几乎赶不上出版商广告的篇幅。说真的，照这样下去，我们恐怕要倒退到马蒂安努斯·卡佩拉的《纲要》时代了。最终结果是：科学在专家手中越飞越高直达光明，而教育者和受教育者却越来越深地陷入原始黑暗。
——克里斯托尔，1885年英国科学促进会主席演讲
今之编书者，其困若何？必求简赅精要，虽塾师披阅，亦无可略之章句，即求及格之徒，亦无隙可疏。尝见有书，其述格物之理，如童谣所咏细腰之女，纤薄特甚，较诸书贾之广告，犹不及焉。长此以往，恐将复返于马蒂安努斯·卡佩拉《纲要》之时也。终致格致之学，为硕儒所高举，至于明彻；而执教、受业之辈，愈陷蒙昧，如坠幽冥。
——克里斯托尔，1885年英国科学促进会主席演辞
534. 有人主张数学教学应该让所有例证都直观可感。没有比这更荒谬有害的观点了：我们应该持续努力的是培养人们思考，而非感受。
——柯勒律治，《莎士比亚讲座》
或有倡言算数之道，当使诸象皆可触知。斯论之谬，莫此为甚！吾辈所务，在启人思虑，非徒役其感官而已。
——柯勒律治，《莎士比亚讲疏》
535. 我最终得出结论：掌握数学必须付出的脑力劳动强度，并不会因为教学方法的逻辑严谨性而显着增加。
——普林斯海姆，1898年德国数学家联合会年报
吾终悟：习算所需心力，非因教法之谨严而骤增也。
——普林斯海姆，1898年德国算学会年报
536. 对待一门精确严谨科学的入门内容，唯一正确的方式就是尽可能运用全部的严谨性和精确性。
——达朗贝尔（引自德摩根《三角学与双重代数》）
治精严之学，其始学之道，唯在尽其谨严、致其精审而已。
——达朗贝尔（录于德摩根《三角学与双重代数》）
537. 认为严格证明会破坏简洁性是错误的。相反，大量事例证明：严谨的方法往往同时更简单易懂。追求严谨的过程本身就会迫使我们寻找更简洁的证明方法。
——希尔伯特，《数学问题》
世或谓严证碍于简明，此见非也。观诸往例，严谨之法，往往更显简易。盖求索严谨之时，必自驱而觅简证之途，此理昭然。
——希尔伯特，《算学问对》
538. 几乎没人能否认，即便是数学的启蒙教学，最严谨的方法也应该优于其他所有方式。每位教师当然都会选择逻辑自洽的证明，而非基于谬误或循环论证的推导——事实上，教师若故意使用后者来变相欺骗学生，这在道德上也是不可想象的。然而令人不安的是，这类有问题的伪证明至今仍充斥于我们的教科书。或许有人辩解说严格证明超出了学生的理解力——如果真出现这种情况（这只能说明整体教学规划存在缺陷），唯一补救办法就是坦率地告知学生：这个定理目前还没有你能理解的证明，以历史陈述的方式呈现。这种不得已的手段虽不理想，但总比用不是证明的证明来糊弄学生要好——后者要么让学生完全无法理解，要么用虚假的知识表象助长浅薄学风和反科学思维。
——格拉斯曼，《算术教科书选段》
算学启蒙，严谨为上，此理至明，鲜有异议。师者传道，必择正途之证，弃虚妄循环之说。若以伪证欺蒙学子，实乃悖德之行，人神共愤。然今之典籍，伪证犹存。或辩曰：严证难为初学者解。然此非证之过，实教法之失也。若遇此境，当直言相告：“此理深邃，非汝今所能悟。”述其源流，虽非善策，犹胜以伪乱真。盖伪证之害，轻则惑人耳目，重则滋长虚妄，背离格物之道。
——格拉斯曼，《算术教科书节录》
539. 英国数学教材作者通常给人这样的印象：他们仿佛与读者达成了一项协议——要将真理、大部分真理且唯有真理呈现在读者面前；并且认为只要把学科知识写入书中，即便这些知识晦涩难寻，也算履行了对读者的承诺。但这种观点大错特错，因为有效的教学远不止于罗列事实，即便这些事实按逻辑顺序排列（而英国教材往往并非如此）。学生可能遇到的难点、聪慧的学生自然会对某些事实或理论提出的质疑——这些作者很少甚至从未提及，然而若作者能预见并阐释这些内容，对学生而言往往价值连城。此外，数学着作中融入一丝幽默（这看似奇怪）不仅恰当，还大有助益；甚至从萨尔蒙的纯数学着作和麦克斯韦的物理学着作中，都能找到这样的例证。
——G.m.明钦
节选自《佩里的数学教学法》（伦敦，1902），第59-61页
英伦算学着者，多予人以如是观：若与读者立契，誓以真传，尽陈其理，无有虚妄；且谓书中载道，纵幽隐难觅，亦足践约。然此见大谬！盖善教之道，非徒胪陈事理，即令条贯秩如（英伦典籍，鲜能及此），犹未足也。学者将遇之困、智者必发之疑，着者罕有措意。若能预察而剖释，则于学子，价逾拱璧。再者，算学之书，偶寄诙谐（此言或奇），非但无妨大雅，反能启迪后学。观萨尔蒙之纯数、麦克斯韦之格物，皆有其例。
——G.m.明钦
录自《佩里算学教授法》（伦敦，1902），第五十九至六十一页
540. 请记住，即兴演讲的要诀在于：讲稿备好后，演讲前需让思维完全脱离主题一段时间；思想会在不知不觉中酝酿，形成新的组合；但倘若直到演讲前还在持续思考主题，思想便不会酝酿，反而会陷入迟钝。
——奥古斯塔斯·德摩根
致哈密顿的信；节选自格雷夫斯《威廉·R·哈密顿生平》（纽约，1882-1889），第3卷，第487页
谨记：欲擅即席讲论之术，当于讲稿既成后，暂释其题，澄心息虑。如此，则灵思暗运，自化新机；若临讲犹殚精竭虑，非但难生妙悟，反致神昏智钝矣。
——奥古斯塔斯·德摩根
书札寄哈密顿；录自格雷夫斯《哈密顿传》（纽约，1882 - 1889），卷三，第四百八十七页