以1867年为例。该年月龄为25，我们在表中查得：
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
新月 5? 4 5? 4 3? 2 1* 29 28? 27 26 25
满月 20 19? 20 19? 18 17 16 15 13? 13 11? 11
标注表示实际天象比表列日期晚一天；标注表示实际天象比表列日期**早一天。因此，三月新月实际发生在6日；四月满月实际发生在18日。{371}
现在我要提出一个自己的小悖论；由于我无法证实它，我不得不声明：任何反对者非愚即妄，这会使我对他们灵魂的状态深感不安。既然这一点已彻底明确，我接着要指出，为了弄清尼西亚大公会议是否制定过天文学准则这一论断的真相，我不得不去查阅教父着作、教会史等资料，其深入程度是我从未设想过的。我得出的一个结论是：尼西亚教父们具有恪守议题的本领，这是后世许多会议未能习得的。在我们这个时代，英国国教教士会议已被禁止严肃讨论任何正严重消耗其辩护资源的议题——例如《亚他那修信经》中的咒诅条款。可以推断，这种禁令部分源于担忧一旦开口便无法收场。似乎存在一种疑虑：一旦放开辩论，就会重演特伦特会议对礼仪制度的冲击，导致整个教义体系面临全面审视。但若有人细读未经增补的原始《尼西亚信经》，便会惊叹制定者紧扣主题的智慧，他们依据自身理解妥善解决了必须裁决的问题。基于这种对他们务实精神的推定，我们更容易相信他们在处理其他事务时可能展现的睿智与谋略。我强烈怀疑，在复活节问题上他们确实具备这种特质。
从大公会议前后诸多细微迹象中，我观察到基督教世界分化成犹太化与外邦化两大阵营的态势——虽未形成以特定名称标榜的宗派对立，但其影响力与意义远超过史学家普遍承认的程度。我当时_留意_到许多此类迹象，但未作_记录_，因与我的研究目的无关。若事实如此，我们必须钦佩大公会议的审慎。复活节问题正是{372}这场斗争的战场：东方或犹太化基督徒（虽存在仪轨和理解的差异）主张将逾越节本身作为重大节期，但赋予基督教内涵；西方或外邦化基督徒则主张纪念复活节，仅与逾越节保持时间关联。以pascha（逾越节）之名悄然调整节期时间，却不明示变更的实质，这实乃温和瓦解保守派根基之举。整个过程波澜不惊：未明确提及改革性质，未暗示这是两个不同节期的争议，仅宣告所有东方弟兄，以往与犹太人同时庆祝此节期，今后将遵从罗马及我们的方式。犹太化派本意是守逾越节_作为_基督教节期；会议却温和地假定他们庆祝的_并非_逾越节，_而是_基督教节期。一道教义裁决就这样以历法规定的形式被悄然而高效地颁布。倘若当时会议发布教义条文并将所有异议者革出教门，东西方教会分裂恐怕会提前数百年发生。我唯一见过与本人悖论部分吻合的论述，见于1866年底《考察者报》的一篇文章——而上述内容当时早已写成。
一则关于新历法实际制定者克里斯托弗·克拉维乌斯的轶事。
我偶然觅得一本《康彭西斯的阿尔伯特·皮吉乌斯论二分二至的推算……兼论复活节庆典规程及教会历法修订》（巴黎，1520年，对开本）。扉页上有褪色字迹，后随“..hristophor.. c..ii,1556（或1558）”，最后一处空白尚未被时间完全抹去，仍可见一个“l”和一个“a”的下半部分，{373}且留空略大于一个“v”所需。这极似“克里斯托弗·克拉维乌斯藏书 1556”字样。承蒙伦敦耶稣会几位成员相助，我从罗马获得了克拉维乌斯签名的拓片，其字母形状及连笔、分笔方式使此事确凿无疑。甚至连那额外的留空也得了解释；他本人写作“clauius”。时在1556年，克拉维乌斯年方十九：由此看来，格里高利历的制定者被选定，不仅因其为博学的天文学家，更因其自年少时起便关注历法及其改革着作。研究此主题时，我有理由认为克拉维乌斯确实读过此书，并从中汲取了一两个短语和一两个概念。注意完整书写教名之益处。
几则次要悖论。
《各类有限高阶方程之通解——兼论代数与超越形式的数值解法》。A. p. 福格尔着，莱比锡数学家。莱比锡与伦敦，1845年，八开本。
本书由一位未精通英语习语的德国人用英文写成，然始终可解。它宣称能“以更广维度且可达任意精确度”求解各次方程。所有次方程的通解乃一棘手难题，其神秘趣味虽不及化圆为方问题，然历史相对晚近。{374}福格尔先生预告将出版一部新着，其中将解决“纯数学最后的不可解难题”。
《选择性极性——宇宙动因》。弗朗西斯·芭芭拉·伯顿着，《通俗天文学》、《物理天文学》等书作者。伦敦，1845年，八开本。
书名已昭示理论大要。首句即称，12,500年前，天琴座a星（织女星）曾是北极星，并将今日已成化石的远古巨兽之庞大归因于如织女星这般“具有极强极性强度之星体将其磁流倾注穿过我们的行星”。伯顿小姐是位有资产的女士，学识相当可观，尤精希伯来文；她于诸事皆特立独行。
1867年。——伯顿小姐因一位善用行星之气象学着作的作者而重获关注；她是其引用的主要思想家之一。
英格兰的思辨思潮。
1845年，古老的“数学协会”并入皇家天文学会。与任何其他国家相比，化圆为方者等人在英格兰更为兴盛：作物最丰处，杂草亦最茂。思辨，虽未受我国政府如欧陆各国那般鼓励，然其未曾如此催迫，却传播远广：深潭虽少，溪流众多。关于此点，我援引本人为前东印度公司董事会监印的拉姆春德拉着作重版序言如下：
那种让人清楚知道什么对自己最有利的明智判断力，以及那种能开发资源、增加财富和提升生活品质的创新能力，都离不开广大民众——直至最底层的识字人群——对纯粹理论思考的广泛热爱。这种热爱能极大推动社会进步，若缺乏则难以快速发展。英国就是明显例证。此说法会让许多人惊讶。他们以为我国是重轻的典范。恰恰相反，我认为欧洲没有哪个国家像我国这样广泛普及理论思辨——无论读者想用什么其他不实用的词汇来形容。在我国，科学始终由民众自发组建和维持；而在其他国家，科学——这个名称非常贴切——都是政府创建的，且一直受政府扶持。在英国制造业发达地区，工匠们稍有空闲就钻研数学等理论学科，这是众所周知的普遍现象。没有哪个国家能看到织布工在织机旁研读牛顿的《原理》；也没有哪个国家能见到靠周薪维生的工人自费维持科学期刊。自上世纪以来，我国这类年度刊物层出不穷——可能达数百种，因为我远未全部了解——有的持续十年，有的延续半个世纪，有的甚至跨越一百五十年，其中刊登的待解难题，常被大学考官选作学术竞赛题目。这些难题总能得到解答，而且无数解答者都来自底层购买者：机械工、纺织工、印刷工。这里无法详述制造业集中化和教育普及如何改变了{376}这一状况；我所说的是现行体系兴起之时，以及许多最有力的推动者成长的环境。所有这些都不像国家扶持的科学院那样突出——后者只有少数大名鼎鼎的人物和辉煌的单项成就。我国与众不同之处在于理论思辨倾向的广泛传播，这种倾向已融入日常生活习惯，表现适度，规模健康。
古老的数学协会
理论思辨广泛传播的最显着证明之一，就是1717年至1845年间蓬勃发展的数学协会。该协会位于斯皮塔菲尔德区，据我所知大部分时间都在克里斯平街活动。它最初是一个属于勤奋工匠的朴素社团。成员每周聚会讨论一次；我相信这个说法是准确的：每人都有他的烟斗、啤酒杯和数学难题。他们的一条旧规规定：若有会员忘乎所以，在激烈辩论中对其他会员进行人身威胁或动手，将面临立即开除或由在场多数会员决定的罚款。但最重要的规定印在他们最后一版章程的扉页背面，用大字写着：根据协会章程，每位会员有义务，当被其他会员询问数学或哲学问题时，以自己所能的最简明易懂的方式给予指导。我们稍后会看到，这条规定在旧时有着更朴素的表述形式。
我听闻棣莫弗{377}曾是该学会成员，但此事我无法证实：从情况来看可能性不大；尽管法国胡格诺教徒多聚居在斯皮塔佛德区，其中不少人加入了该学会，且有理由认为学会最初是由他们创立的。但多朗德、托马斯·辛普森、桑德森、克罗斯利等知名学者确为会员。该学会逐渐衰落，至1845年仅剩十九名会员。经协商，其中十六名未曾加入皇家天文学会的会员被免除会费自动成为会士，旧学会全部藏书及资产均移交新学会。我曾参与前期调研的委员会，其衰败原因很快明朗。唯一值得商榷的是：这个以劳工为主的学会（其声誉始终如此）成员，是否具备与皇家天文学会会士平等交往的学识修养。我们发现工匠阶层元素早已消亡多年；现有成员无论教育程度、言行举止或社会地位，皆足以通过常规途径成为会士。实情是斯皮塔佛德区生计日益艰难：织工们{378}仅能勉强糊口，再无余力钻研学术。旧学会赖以生存的土壤已不复存在。
1798年，学会曾举办实验讲座，入场时收取少量费用：由此引出一段轶事——与一首歌谣相关。多年前，我在一位已故友人的遗稿中发现一首歌谣，标题为伦敦数学学会为弗莱彻先生举办晚宴时演唱的歌曲。这位弗莱彻先生是位律师，曾为学会提供无偿辩护。皇家天文学会助理秘书威廉姆斯先生——曾任数学学会秘书——证实弗莱彻律师曾是会员。数年后我才想起咨询老友本杰明·冈珀茨，他作为资深会员或对此事有记忆。以下节选自他1861年7月9日的来信：
关于数学学会——我十八岁时便成为会员（冈珀茨先生生于1779年），当时破格录取未满二十一岁者。我入会经过是：偶然经过一家由贫困裁缝约翰·格里菲斯经营的二手书店，发现他是位优秀的数学家。结识这位同道令我欣喜，便请他指点；他却说我的学识足可指导他，并表示可引荐我加入数学学会。我接受提议当选会员，此后竟有许多学者需我指导，因{379}学会规章规定：若会员向他人求教，被问者必须解答，否则罚款一便士。虽然关于学会还有许多趣事可述，现仅回答您的疑问。我深知弗莱彻先生是位极其聪颖且精通科学的绅士。他曾作为律师为学会辩护——当时有告密者以举办哲学主题公众讲座（即无许可的收费公开活动）为由起诉学会，索赔金额我记得高达五千英镑。入场费似为一先令，据回忆观众常达两三百人。弗莱彻先生辩护成功，使我们摆脱困境。会员们曾募资酬谢，但他婉拒了所有报酬。我们确如您所言为他举办了晚宴，尽欢而散；席间必有天文题材歌谣及其他曲目，但我已记不清天文歌谣是否为饮酒歌。那场诉讼引发的焦虑，我认为是导致部分会员去世的诱因。（他们显然因无知触犯法律；从索赔金额看，告密者必定亲临现场，对每一笔可证实的先令入场费都主张了罚金）