=1434.=
几何学家常用于完成最难证明的那些冗长推理链条，全然简单易懂。这让我想到：人类心智可认知的一切事物，或许都能以类似方式联结；只要小心不把非真之物当作真理，始终谨慎保持从一个真理推导出另一个真理所需的秩序，就没有什么真理是最终无法企及的，也没有什么隐秘是无法被发现的。
——勒内·笛卡尔
《方法谈》第二部分；《笛卡尔哲学》[托里编]（纽约，1892），第47页
几何家证题，恒用长链之理，虽繁而简，虽奥而明。由此观之，凡人心可喻之物，皆可类通。但守其诚，辨其伪，循次而进，无使差忒，则幽远之理可致，隐秘之奥可彰，虽极深研几，终无不可达者。
——勒内·笛卡尔《方法谈》第二部分；《笛卡尔哲学》（托里编，纽约，一八九二年）第四十七页
=1435.=
若有人想以数学方式撰写形而上学或伦理学着作，理论上并无不可。确有人宣称这样做过，甚至承诺在数学领域之外提供数学证明，但成功案例寥寥。我认为这是因为：为少数读者付出必要的心血会让人却步——正如佩尔西乌斯所问：“谁会读这些？”答案只能是：“至多两人，或无人。”
——戈特弗里德·莱布尼茨
《人类理解新论》[兰利译]，第二卷，第二十九章，第12节
若欲以算学之法，着形上、伦理之论，非不可为。往有尝试者，且扬言欲广算学之证法于他科，然鲜有克成者。盖此道繁重，而览者寥寥，诚如佩尔西乌斯所叹：“谁其阅之？”应之曰：“或二或无。”是以难竟其功也。
——戈特弗里德·莱布尼茨《人类理解新论》（兰利译）第二卷第二十九章第十二节
=1436.=人们通常认为，数学与哲学的区别在于研究对象：前者处理“量”，后者处理“质”。这完全是错误的。两学科的差异不取决于对象，因为哲学适用于一切事物（包括“量”），数学也部分涉及质——万物皆有量。二者的本质区别仅在于理性知识的类型或理性应用的方式：哲学是“从纯粹概念而来的理性知识”，而数学则是“通过概念构造而来的理性知识”。
所谓构造概念，是指先天地在直观中呈现概念（无需经验），或在直观中呈现与概念对应的对象。数学家从不将理性仅运用于概念，哲学家也不处理概念的构造。数学中理性的运用是“具体的”，但其直观并非经验性的，而是先天沉思的对象。
由此可见，数学相较哲学有一优势：前者的知识是直观的，后者则仅是“推论性的”。而数学更多处理“量”的原因在于：量能被先天地在直观中构造，而质却无法在直观中被表象。
——伊曼努尔·康德
《逻辑学》[哈滕斯坦编]（莱比锡，1868），第八卷，第23-24页
世多言算学、哲学之别，在于所究之物：前者主量，后者主质。此说非也。二学之分，不在其物。盖哲学无所不究，算学亦涉于质，以万物皆有量故也。其根本之异，乃在致知之途、用思之法：哲学者，据纯理以推；算学者，构概念而证。所谓构念者，乃先天直观以显其象，不假经验；或呈物之象，以合于念。算家不滞于空论，哲士不务于构象。算学之思，寓于形器；其观物也，虽为直观，然本于先天。由此观之，算学之优，在于直观；哲学之征，存乎推衍。算学重“量”者，以量可先天而构，质则难直观以显故也。
——伊曼努尔·康德《逻辑学》（哈滕斯坦编，莱比锡，一八六八年）第八卷第二十三至二十四页
=1437.= 康德将人类观念分为“量”与“质”两类，若此说成立，则数学的普遍性将被颠覆；但笛卡尔关于数学中具体与抽象关系的基本构想，否定了这种划分，并证明所有关于“质”的观念均可还原为“量”的观念。笛卡尔最初仅关注几何现象，但其后继者将这一概括先扩展至力学现象，近年又纳入热现象。如今所有几何学家都认为这一原则具有普适性，并承认：任何现象若能被发现并分解，理论上都可像曲线或运动那样用方程逻辑化表达——尽管我们远未完全具备这种能力。
因此，数学科学的局限并非源于其本质，而是受制于人类智能：随着现象趋于特殊化，其复杂性也相应增加，数学的研究领域便会显着受限。
——奥古斯特·孔德
《实证哲学》[马蒂诺译]，第一卷，第一章
康德尝分人类之念为“量”“质”二类。设其说确然，则数学之普适性将毁。然笛卡尔论数学中具象与抽象之关联，破此藩篱，证凡“质”之念，皆可归于“量”。笛卡尔初仅论几何之象，后学推而广之，先及力学，近纳热学。今之几何家，莫不以为此理放之四海而皆准，谓凡现象皆可如曲线、运动，以方程表之。特以吾人智识未逮，未能尽穷其奥耳。
数学之限，非在其道，而在吾人之智。盖现象愈专，则愈繁，数学之所及，亦愈隘也。
——奥古斯特·孔德《实证哲学》（马蒂诺译），第一卷，第一章
=1438.= 数学科学相较道德科学的一大优势在于：前者的观念具有可感性，始终清晰明确，细微差异可即刻辨识，且相同术语始终表达相同观念，无歧义或变化。椭圆不会被误认作圆形，双曲线也不会与椭圆混淆。等腰三角形与不等边三角形的区分边界，比美德与邪恶、正确与错误更为精确。几何中若对某术语下定义，人们会自觉在所有情境中以定义代指被定义物；即便未下定义，对象本身也可通过感官呈现，从而被稳定清晰地理解。
但心智的微妙情感、理解的运作过程、激情的各种波动，虽本质上彼此有别，却在反思审视时极易被忽略；我们也无法在需要思考时随时召回原始对象。由此，歧义逐渐渗入推理：相似对象易被视作同一，最终结论便与前提相去甚远。
——大卫·休谟
《人类理解研究》，第七章，第一部分
数学之胜于道德之学，其要在斯：数学之念，可感而明，毫厘之差，目即可辨，同一名词，恒表同念，绝无歧义。椭圆不混于圆，双曲线不淆于椭圆，等腰、不等边之界，较善恶、是非之辨，尤为精审。几何之名词，苟有定义，则人心自以定义代其物；即无定义，亦可绘图以示，使人一目了然，反复推究，而念无变易。
若夫道德之学，心之微情，思之运演，情之波动，虽实有别，然反观内省，则易遁于无形。且不能随时复现其本象，故歧义渐生，似是之物，每以为同，终至结论与前提相去霄壤。
——大卫·休谟《人类理解研究》，第七章，第一部分
=1439.= 道德观念因存在缺陷而被认为无法论证，其中一部分可通过定义弥补：明确每个术语所代表的简单观念集合，并始终稳定使用这些术语。至于代数或类似方法未来能否提示其他解决途径以消除剩余困难，尚难预测。但我确信：若人们以研究数学真理的同等方法与客观态度探寻道德真理，便会发现道德观念间的联系更紧密，从清晰明确的观念中推导出的结论也更具必然性，其论证完善度将远超通常认知。
——约翰·洛克
《人类理解论》，第四卷，第三章，第20节
道德之念，向以难证见称，然其弊可救于定义。详列其所含简念，使名词各有所指，用之不忒，则可去其弊之一端。至于代数之术或他法，能否解其余难，未可预知。然吾深信，若人以治数学之法求道德之理，平心而察，将见诸念相系愈密，其推论愈必，其证之确，当逾常人所料。
——约翰·洛克《人类理解论》，第四卷，第三章，第二十节
=1440.= 为何量的观念更具确定性与可论证性（相较道德观念），原因有二：
首先，量的观念可通过可感符号记录与呈现，这些符号与观念的对应关系比任何语言文字都更直接紧密。纸上绘制的图表是心智中观念的复制，不存在文字符号的不确定性。用线条画出的角、圆或正方形直观可见，不会被误认；其形态固定不变，可从容审视检验，论证过程可反复修订，所有步骤都能多次梳理，观念绝无丝毫改变风险。道德观念则无法如此：我们没有可感符号与之对应，只能用文字表达——文字虽书写后形态不变，但同一人对其代表的观念可能变化，不同人之间的理解更常存在差异。
其次，伦理学的另一大难点在于：道德观念通常比数学中常见的图形观念更复杂，由此产生两个问题：其一，道德术语的含义更易模糊，因人们难以就其代表的简单观念集合达成共识，导致这些符号在交流与思考中常无法稳定传递同一观念。这就如同有人要论证七边形性质时，在图示中遗漏一个角，或因疏忽多画一个角，使图形与名称通常的含义或论证初衷不符——这种情况在复杂道德观念中频发且难以避免，同一名称下的复杂观念常因不同情境增减某个“角”（即某个简单观念）。其二，道德观念的复杂性还导致另一弊端：心智难以精确完整地保留这些复杂组合，而这是考察多个观念间关系、一致性或矛盾性的必要前提；尤其当需要通过长串推导及多个中间复杂观念来证明两个遥远观念的一致或矛盾时，难度更大。
——约翰·洛克
《人类理解论》，第四卷，第三章，第19节
量之念所以确然可证，胜于道德之念者，盖有二故：
其一，量可假象以明，绘于纸素，则心象具现，较诸文字，尤为真切。角、圆、方诸形，跃然纸上，无可错认，恒久不易，可从容究诘，数审其证，而念无改易。道德之念则无象可拟，唯恃文字。文虽定而念多变，同一人前后或殊，不同人则尤难一致。
其二，道德之念，较数学所论图形，尤为繁复。由此生二患：一者，名词之义难定，所含简念，人各有异，故其用也，或此或彼，莫能归一。譬如证七边形之理，图中或遗一角，或增一角，名实乖离，谬由此生。道德之念，亦常如此，同名之下，简念时增时减。二者，念既繁复，则心难尽记，欲审诸念之同异离合，长于推证者犹难之，况其间又须假他念为媒，以通两念之邮乎？
——约翰·洛克《人类理解论》，第四卷，第三章，第十九节
=1441.= 人们普遍认为只有数学具备演绎确定性，但我认为：观念间可被直观感知的一致或矛盾，并非数、广延与图形观念的专属特性。之所以人们认为演绎在其他知识领域作用甚微，且除数学家外几乎无人尝试，或许并非事物本身证据不足，而是我们缺乏恰当的方法与应用。
任何观念，只要心智能直观感知其直接的一致或矛盾，即可形成直观知识；若能通过直观感知两个观念与任何中间观念的一致或矛盾，进而推导出这两个观念的关系，即可形成演绎知识——这并不局限于广延、图形、数及其变式的观念。
——约翰·洛克
《人类理解论》，第四卷，第二章，第9节
世皆谓唯数学可证，然心所能直喻之同异，岂独数、形之念所专有？窃以为，他学少证，非理之不足，实吾人未得其法耳。凡念之同异，心能直喻者，即可为直观之知；若借他念以明两念之同异，即为可证之知。此道非独施于广延、图形、数及其变也。
——约翰·洛克《人类理解论》，第四卷，第二章，第九节
=1442.= 我需再次强调此前多次提及的观点：人们普遍认为只有数学科学具备演绎确定性；但观念间可被直观认知的一致与矛盾，并非数与图形观念的专属特性。或许正因我们应用不足，才使数学成为唯一实现演绎论证的学科。
——戈特弗里德·莱布尼茨
《人类理解新论》[兰利译]，第四卷，第二章，第9节
向者已屡言之，世多以唯数学可证。然心所直喻之同异，非数、形之专美也。数学独擅其长，或由吾人未善施用之故耳。
——戈特弗里德·莱布尼茨《人类理解新论》（兰利译），第四卷，第二章，第九节