=1210.=为什么只有数学家才能评判数学家？最主要的原因是他们使用一种特殊的语言。数学的语言很独特，而且无法翻译。在最简单的形式下，它还能翻译，比如我们说“直角”来表示“方形的角落”。但一旦涉及更高深的数学领域，就必须使用这种特殊语言了。就算是墨丘利（掌管语言的神）本人，也没法给不懂数学的人解释“函数指数”这个短语是什么意思。要是想解释像哈密顿的《四元数》那样的整篇论文，让别人能评判它的价值，那就更不可能了！不过对于懂这种语言的人来说，它是所有表达方式中最精确、最清晰的。它能完全按照作者的构思来展现思想，形式上或许有美丑之分，但绝不会模糊不清。这种语言可能像法国作者的作品那样冗长，也可能像英国剑桥大学的学者那样沉迷于符号变形，或者像我们美国剑桥的几何学家那样采用最简洁清晰的形式，但不管怎样，它总能准确地展现作者的思想。
——托马斯·希尔
《北美评论》，第85卷，第224-225页
夫唯算家能评算家者，以其独擅专门之语也。算学之语，特异于常，不可译也。至若简易之辞，或可转译，如以“直角”释“方隅”。然涉高深之域，则非此语莫办。纵使墨神（注：墨丘利，司语言之神）亲至，亦难向门外汉解“函数指数”之谓，况欲阐哈密顿《四元数》之宏旨，令世人辨其价值，不啻缘木求鱼！然于通其语者，此乃至精至明之表述。其能尽展作者所思，或繁或简，皆无晦义。法儒之述，多显冗沓；英之剑桥学者，好为符号变易；而美之剑桥（注：此处疑指美国剑桥）几何诸家，则尚简净。然无论何体，皆可直透作者本心。
——托马斯·希尔
《北美评论》，第八十五卷，第224 - 225页
=1211.=分析语言的应用范围确实比较有限，但在这个范围内，它比日常语言优秀太多了：日常语言想跟上分析语言的思路，往往走不了几步就会被甩开。懂得用这种高度凝练的语言思考的数学家，和只会机械计算的人相比，简直有天壤之别。
——A. 普林斯海姆
《德国数学家协会年度报告》，第13卷，第367页
分析之语，所涉之域虽狭，然其精能远超常言。常言欲效其能，未几而穷。深谙此凝练之语者，与机械运算之辈相较，不啻云泥。
——A. 普林斯海姆
《德意志算学会年报》，第十三卷，第367页
=1212.=系统的符号推理得出的结果，从本质上来说一定表达的是普遍真理，而且这些结果的正确性，并不要求推理过程的每一步都代表着对“量”的某种具体运算。“符号解释具有绝对普遍性”，这是使用符号的根本原则。
——威廉·惠威尔
《归纳科学的哲学》，第一部分，第二卷，第12章，第2节（伦敦，1858年）
夫系统符号推演之所得，必为普世之理。其成立与否，非必令推演各步皆对应量之实算。“符号阐释之绝对普适性”，此乃用符之本也。
——威廉·惠威尔
《归纳科学之哲学》，第一部，第二卷，第十二章，第二节（伦敦，1858年）
=1213.=只要懂代数符号，看一眼方程就能知道结果；但如果用算术方法来算，就得费很大的力气才能得到同样的结果。
——A. 库诺
《财富理论》[N. t. 培根译]（纽约，1897年），第4页
谙代数符号者，瞥目方程即知其果；若以算术求之，则费力矣。
——A. 库诺
《财富论》[N. t. 培根译]（纽约，1897年），第4页
=1214.=算术和代数是非常清晰、确定且内容广泛的科学，它们直接和符号打交道，并且完全依赖于对符号的熟练运用。所以，稍微关注一下这些科学，可能会帮助我们判断其他科学中思维的进步情况——虽然其他科学在性质、目的和研究对象上和算术、代数不同，但在证明和探究的一般方法上，可能和它们有相通之处。
——乔治·贝克莱
《阿尔西弗龙或渺小的哲学家》，第七对话，第12节
算术、代数之学，至明至确，其用至广。二者皆倚重符号，全赖善用之巧。故观此二学，或可鉴他学中思维之进。他学虽性、旨、对象各异，然于论证、探究之大法，或有相通。
——乔治·贝克莱
《阿尔西弗龙，或渺小哲人》，第七辩，第十二节
=1215.= 一般来说，所有这类新算法都有这样的特点：用它们能解决的问题，不用它们也能解决。不过，它们的优势在于：如果一种算法符合人们频繁出现的需求的本质，那么只要彻底掌握了它，就算没有谁能轻易拥有的天才灵感，也能解决相应的问题，甚至在复杂的情况下可以机械地解决问题——要是没有这种算法的帮助，就算是天才也会束手无策。像一般代数、微积分的发明，还有拉格朗日的变分法、我（高斯）的同余算法，以及莫比乌斯的算法，在各自的领域里都是这样。这些概念就像把无数原本孤立的问题连成了一个有机的整体，要是单独解决这些问题，或多或少都需要用到创造性的天才思维。
——c. F. 高斯
《着作集》，第8卷，第298页
大凡新创之算法，其理皆然：不用之能解者，用之亦能解。然其利在于：若算法契合常需之本，精熟者无需天赋灵机，即可破题；即遇繁复之状，亦可循规而解。若无此助，虽天才亦难措手。如代数通法、微积分，以及拉格朗日变分术、吾之同余术、莫比乌斯之法，皆属此类。此等创见，汇孤立之题成有机之体，若逐一破解，则非借灵思妙想不可。
——c. F. 高斯《高斯全集》，第八卷，第298页
=1216.=我们所说的“基本符号”的发明，很少依靠类比，这显然是因为可供有效比较的概念范围太小了。但同时，我们还是应该注意类比，就算没有别的原因，至少也能让符号的发明成为一门学问，这样就不会有人随意创造符号了。发明符号是很容易的事，但用没人知道的符号来混淆数学表达，这种例子带来的后果是最坏的。如果确实需要引入新符号（不管是长期还是暂时使用），除非能证明它是对现有符号的合理扩展，否则就应该让它带有和现有符号不同的特征。
——A. 德摩根《函数计算》；《大都会百科全书》，第26条增补
所谓基本符号之创制，鲜依类比，盖可资比较之概念寡也。然仍当留意类比之法，至少可使符号创制成学，免人随意妄为。创制符号易，然以生僻之符淆乱算式，其害最甚。若确需立新符（无论久暂），除非可证为旧符之合理推展，否则当令其有别于旧符。
——A. 德摩根《函数演算》；《大都会百科全书》，第二十六条补遗
=1217.=在阿拉伯数字符号引入之前，乘法运算是很困难的，甚至连整数的除法都需要动用最高级的数学能力。如果有希腊数学家得知，在义务教育的影响下，西欧全体民众，从最高阶层到最底层，都能对极大的数字进行除法运算，这在现代社会可能最让他们震惊了。这一事实在他们看来可能完全是不可能的……我们如今能用小数轻松计算的能力，是完美符号体系带来的最神奇的结果。
——A.N.怀特海
《数学导论》（纽约，1911年），第59页
当阿拉伯数字未行于世之时，乘法之术已属繁难，即整数相除，亦需竭尽算学之能事。设若古希腊算家得知，今之西欧，自贵胄至于黔首，皆因庠序之教，能演算大数相除，必惊为天方夜谭，断不信人间竟有此等奇事。今我等以小数运算，不假思索而得数，皆赖精妙之符号体系，此诚千古未有之奇迹也。
——A.N.怀特海《算学导论》（纽约，1911年），第59页
=1218.=数学常被认为是一门困难而神秘的科学，因为它使用了大量符号。当然，没有什么比我们不理解的符号体系更难理解的了。而且，我们只是部分理解、还不习惯使用的符号体系，也很难跟上思路。这和任何职业或行业的专业术语对未受过训练的人来说难以理解是完全一样的。但这并不是因为这些术语本身很难，相反，它们总是为了让事情变得简单才被引入的。所以在数学中，只要我们认真关注数学概念，符号体系就一定会带来极大的简化。
——A.N.怀特海
《数学导论》（纽约，1911年），第59-60页
世人常以算学为艰深玄奥之学，盖因其符号繁多。夫不解之符号，如天书难辨；略知而不熟用者，亦觉扞格难通。此犹百工之术语，非习其业者莫能明也。然符号之设，非为增其难，实欲化繁为简。若潜心于算理，则知符号之用，可使诸事豁然开朗。
——A.N.怀特海
《算学导论》（纽约，1911年），第59 - 60页
=1219.=符号体系有用，因为它让事情变得困难。一开始，一切都显而易见，但很难看出一个自明的命题是否能从另一个命题推导出来。显而易见往往是正确性的敌人。因此，我们必须发明一种新的、困难的符号体系，在其中没有什么是显而易见的……这样一来，整个算术和代数已被证明需要三个不可定义的概念和五个不可证明的命题。
——伯特兰·罗素《国际月刊》，1901年，第85页
符号之妙，在于化易为难。始学时，诸事皆若昭然若揭，然欲辨命题之推演，反觉迷雾重重。盖浅显之见，每蔽真知。故须创艰深之符号体系，使习者不敢妄言“显然”。今算术、代数之学，已证其根本需三不可名之概念、五不可证之命题。
——伯特兰·罗素
《国际月刊》，1901年，第85页
=1220.=当讨论量之间的关系时，使用数学符号是非常自然的；即使它们不是严格必要的，拒绝使用它们也不太合理。因为如果它们能够帮助阐述问题，使阐述更简洁，为更广泛的发展开辟道路，并避免模糊论证的离题，那么即便不是所有读者都同样熟悉它们，即便它们有时被错误使用，也不应拒绝。
——A.库诺
《财富理论》[N.t.培根译]（纽约，1897年），第3-4页
论及量之关系，用算学符号，乃自然之理。纵使非必不可少，亦不应轻弃。若其能明辨疑难，精简论述，开拓新知，杜绝空泛之论，虽或有读者未谙，或偶有误用，亦无损其价值。
——A.库诺
《财富论》[N.t.培根译]（纽约，1897年），第3 - 4页
=1221.=像哈密顿和格拉斯曼所构想的那种包罗万象的几何符号体系，是不可能实现的。
——h.布尔克哈特
《德国数学家协会年度报告》，第5卷，第52页
哈密顿、格拉斯曼尝欲创包罗万象之几何符号，然终不可得。
——h.布尔克哈特《德意志算学会年报》，第5卷，第52页
=1222.=分析语言是所有语言中最完美的，它本身就是强大的发现工具，其符号表示，尤其是那些必要且构思巧妙的符号，是许多新算法的萌芽。
——拉普拉斯
《作品集》，第7卷（巴黎，1896年），第xl页
分析之语，堪称至善，乃探奥索隐之利器。其符号精妙者，犹种子入土，他日必发为新术。
——拉普拉斯
《拉普拉斯全集》，第7卷（巴黎，1896年），第xl页