=1104.= 从正确的视角来看，数学不仅蕴含真理，更拥有至高无上的美感——这种美冷峻而质朴，如同雕塑艺术，不迎合人类本性中的软弱之处，没有绘画的绚烂色彩与音乐的华丽装饰，却崇高纯粹，达到了一种只有最伟大的艺术才能展现的严峻完美。真正的愉悦感、心灵的升华以及超越凡俗的体验，这些衡量至高境界的标准，在数学中如同在诗歌中一样确凿可寻。数学中最精妙的部分，不应仅作为任务来学习，而应融入日常思维，不断以新的感悟反复思索。对大多数人而言，现实生活不过是漫长的次优选择，是真实与可能之间永恒的妥协；但纯粹理性的世界没有妥协，没有实用限制，也没有任何阻碍创造活动的壁垒——这种创造活动以宏伟的理论体系，体现着对完美的炽热追求，而这正是一切伟大成就的源泉。数学远离人类情感，甚至超脱于自然的琐碎表象，历代学者逐渐构建起一个有序的宇宙，让纯粹的思维得以栖息，如同回到自然家园，也让我们更高尚的精神追求，得以摆脱现实世界的沉闷束缚。
——伯特兰·罗素
《数学研究》，收录于《哲学论文集》（伦敦，1910年），第73页
数学若正观之，不仅含真理，更具至高之美——此美冷肃严正，类乎雕塑，不媚人性之软弱，不借绘画音乐之绚烂，然纯粹至极，臻于严峻完美之境，唯至伟艺术可比。真悦之魂、激昂之情、超拔之思（此乃至高卓绝之试金石），于数学中与诗中同可寻得。数学之精妙处，不当仅作任务习之，而应化入日常思维，常以新悟重温。现实人生于多数人，是漫长之次选，乃真实与可能之永恒妥协；然纯理世界绝无妥协，不见实用桎梏，亦无壁垒阻其创构——此等创构如华厦巍峨，尽现对完美之炽烈追求，此正一切伟大工作之源。数学远离人间情欲，甚至超脱自然之微末事象，历代学者渐次构筑有序宇宙，使纯粹思维得居本乡，亦令吾辈高尚冲动之一，得脱自然世界之苍凉流放。
——伯特兰·罗素
《数学研究》，收于《哲学文集》（伦敦，1910年），第73页
=1105.= 文艺复兴时期的艺术大师们，如布鲁内莱斯基、列奥纳多·达·芬奇、拉斐尔、米开朗基罗，尤其是阿尔布雷希特·丢勒，他们被数学科学深深吸引，并非仅仅出于对普世文化的追求。他们明白：艺术即便充满个人想象的自由，也必须遵循必然规律；而数学尽管有着严密的逻辑结构，同样遵循着美学法则。
——F. 鲁迪奥
《菲尔绍 - 霍尔岑多夫通俗科学演讲集》第142辑，第19页
文艺复兴巨匠如布鲁内莱斯基、列奥纳多·达·芬奇、拉斐尔、米开朗琪罗，尤其阿尔布雷希特·丢勒，其为数学科学所吸引者，非独对普世文化之追求。彼等深知：艺术纵有个体想象之自由，仍受必然法则约束；数学虽具逻辑结构之严，亦循美学规律——二者实乃相反而相成。
——F. 鲁迪奥
《菲尔绍 - 霍尔岑多夫通俗科学演讲集》第142辑，第19页
=1106.= 无疑，数学在博雅教育中占据一席之地的主张如今已被充分证实。无论我们审视现代几何、现代积分学还是现代代数学的进展，在这三个领域中，如今都能自由运用相关素材，且为规范的想象发挥留下了几乎无限的空间。在我看来，整个美学领域（就目前已知而言）可视为一个以四个中心为顶点的四面体结构，这四个顶点分别是史诗、音乐、造型艺术和数学。其中任意三个顶点可确定一个“共同”平面，而第四个顶点则处于该平面之外；每两个顶点可确定一条公共轴，且与另外两个顶点所确定的轴“相对”。这一点是确定且可证明的。我认为还可能存在这样的情况：每组三个顶点都有一个重心，且连接每个重心与第四个顶点的直线会相交于同一点——即整个美学体系的重心；不过这个重心是什么或必然是什么，我还没有时间去思考清楚。
——J.J.西尔维斯特
《关于不变量基本定理的证明（此前未被证明）》，收录于《数学论文集》第三卷，第123页
算学于博雅之学中，其位当立，今已昭然。观乎今世几何、积分、代数之进境，三者皆可运材自如，骋思无极，规制之内，想象翩然。以仆之见，美学之域（就今所识），犹四面体然，四极鼎立，曰史诗，曰音乐，曰塑形，曰算学。任取其三，可定一面，余一极则超然于外；两两成轴，与他轴相峙。此理确凿，可证可明。又揣度之，每三面必有重心，连重心与外极之线，或汇于一点，是为美学全体之重心。然此点究为何物，尚未暇深考。
——J.J.西尔维斯特
《证不变量基本定理（前未证者）》，载《算学文集》，卷三，页一百二十三
=1107.= 数学与音乐、绘画或诗歌并无不同。任何人都可以成为律师、医生或化学家，只要足够聪明和勤奋，就可能在这些领域取得成功；但并非每个人都能成为画家、音乐家或数学家：仅靠一般的聪明和勤奋在这些领域毫无用处。
——p.J.默比乌斯
《论数学天赋》（莱比锡，1900年），第5页
算学之妙，与乐、画、诗无异。人皆可成律、医、化之士，苟聪慧勤勉，便能有成。然画师、乐师、算家，则非仅恃智与勤可致，盖此道别有玄奥也。
——p.J.默比乌斯
《论算学之资》（莱比锡，一九〇〇年），页五
=1108.= 真正的数学家往往兼具艺术家、建筑师甚至诗人的特质。数学家们在现实世界之外（尽管与现实世界有明显联系），通过理性构建了一个理想世界，并试图将其发展为最完美的存在，这个世界正被从各个维度探索。除了真正了解它的人，没有人能对这个世界有丝毫概念。
——A.普林斯海姆
《德国数学家协会年度报告》第32卷，第381页
真算家者，往往兼具艺心、匠智，乃至诗魂。彼等于现实之外，构一理想之境，虽与尘世相通，然独辟蹊径，力求至善。此境深邃，唯亲涉其间者，方能窥其堂奥。
——A.普林斯海姆
《德意志算学会年报》，卷三十二，页三百八十一
=1109.= 但凡研究过欧拉、拉格朗日、柯西、黎曼、索菲斯·李和魏尔斯特拉斯等人着作的人，谁会怀疑伟大的数学家同时也是伟大的艺术家呢？这些人所具备的能力（因个体差异在类型和程度上有很大不同），与建设性艺术所需的能力是相通的。并非每个数学家都高度具备那种致力于完善形式、追求逻辑完整性理想的批判能力；但每个伟大的数学家都拥有更罕见的建设性想象力。
——E.w.霍布森
《英国科学促进会主席致辞》（1910年），《自然》杂志第84卷，第290页
观欧拉、拉格朗日、柯西、黎曼、索菲斯·李、魏尔斯特拉斯诸公之作，岂容疑“大算家即大艺者”乎？诸贤之才，因人而异，然与造物之艺相通。非众算家皆擅雕琢之能、求逻辑之全，然伟大者必怀罕有之构象神思。
——E.w.霍布森
《英吉利科学会会长致辞》（一九一〇年），《自然》，卷八十四，页二百九十
=1110.= 数学拥有独特的美感——其结论中的对称性与协调性、毫无冗余的简洁性、手段与目的的精准适配，都令人称奇，这种美感唯有在最伟大的艺术作品中才能见到。歌德曾妙言称一座宏伟的大教堂为“凝固的音乐”，但或许更贴切的说法是“石化的数学”。数学之美——简洁之美、对称之美、完备之美——即便对儿童也应加以阐释。当这门学科以恰当且具体的方式呈现时，带给人的应是对美的享受，而非对丑陋与乏味的排斥。
——J.w.A.扬
《数学教学》（纽约，1907年），第44页
算学之美，别具一格。其结论对称匀停，简净无赘，法与旨契，精妙绝伦，唯至美之艺可比。歌德谓宏丽教堂为“凝固之乐”，若言“石化之算”，或更切当。算学之简、之谐、之全，虽蒙童亦当示之。若讲授得法，使人感美者之悦，而非恶者之厌，则善矣。
——J.w.A.扬
《算学教授法》（纽约，一九〇七年），页四十四
=1111.= 在数学的王国中，存在一种独特的美。这种美与其说类似艺术之美，不如说更接近自然之美；它能触动那些已懂得欣赏它的理性心灵，其方式与自然之美带来的触动颇为相似。
——E.E.库默尔
《柏林月刊报告》（1867年），第395页
学之域，美韵独彰。此美不类艺韵，而近天工，能动智者之心。悟其美者，如临自然，神思悠然。
——E.E.库默尔
《柏林月旦》（一八六七年），页三百九十五
=1112.= 数学能让思维专注于所思考的对象。它通过呈现众多令人愉悦且确凿、但并非显而易见的真理来实现这一点。真理之于知性，犹如音乐之于耳朵、美之于眼睛。对真理的追求，确实如同满足感官愉悦一样，能让我们由智慧造物主赋予的本能官能获得满足：只不过在前一种情况中，由于对象与官能更具精神性，这种愉悦更为纯粹，没有通常伴随感官享乐而来的遗憾、低俗、倦怠与无度。
——约翰·阿巴思诺特《数学学习的用途》
算学之效，能使人心凝于所究之理。盖其以众妙理启迪心智，其理昭昭，悦人神智，然非浅尝可得。夫真理于智性，犹丝竹之于耳，丹青之于目。吾人追寻真理，与感官之娱无异，皆为顺应造化所赋之本能。特前者更显纯粹，超然物外，无沉溺之悔、低俗之累、倦怠之态，迥异于感官之乐。
——约翰·阿巴思诺特
《论算学研习之用》
=1113.= 尽管数学家的演算推理看似与艺术家想象的大胆飞跃相距甚远，但必须记住，这些表述不过是从两者的活动中随意抓取的瞬时影像。在构建新理论时，数学家需要像创作型艺术家一样大胆而富有创造力的想象；而在完成艺术作品的细节时，艺术家也必须冷静计算为成功完善各部分所必需的手段。两者的共同之处在于从思维中创造和生成形式。
——E. 兰佩
《数学的发展等》（柏林，1893年），第4页
数学家推演之迹，看似与艺者想象之驰遥隔，然此皆为二者行事中偶撷之瞬影耳。构新说时，数学家需如创作者般纵意驰骋，富乎创想；艺者成作，于细节处亦必冷静筹算，以完各部分之需。二者所同，在于以思造形、由心生象。
——E. 兰佩《数学之演进》（柏林，光绪十九年），页四
=1114.= 正如纯粹真理是我们科学（数学）的北极星，数学这门科学相较于其他学科的一大优势，在于它更易唤醒学生对真理的热爱……如果黑格尔说“不了解古人着作的人，活着却不懂美”是正确的，那么谢尔巴赫同样有理由回应：“不了解数学及近代科学研究成果的人，死去时仍不知真理。”
——马克斯·西蒙
（引自J.w.A.扬《数学教学》，纽约，1907年，第44页）
纯粹真理，乃吾辈科学（数学）之北辰。数学较他学之优，在其易启学子向真之心……若黑格尔言“不通古人着作者，生而不识美”为确，则谢尔巴赫亦有由应之：“不通数学及近世科研之果者，死而未知真。”
——马克斯·西蒙（引自J.w.A.扬《数学授业》，纽约，光绪三十三年），页四四
=1115.= 比克塞尔在其乡村牧师的回忆录中提到，他通过研读拉克鲁瓦的《微分学》来放松身心，从而为自己的职业获得了智力上的滋养。这类事例表明，对于远离城市、不得不放弃艺术享受的人而言，投身数学研究能带来巨大裨益。数学那令每个投身其中者着迷的魅力，可与诗人完成作品时沉浸的狂热相媲美，这始终让旁观者难以理解，也常常导致热忱的数学家遭人嘲笑。一个典型例证是阿基米德……
——E. 兰佩
《数学的发展等》（柏林，1893年），第22页
比克塞尔于乡牧回忆录中言，其研读拉克鲁瓦《微分学》以遣怀，由此获职业之智养。此类事例可见，远城市、不得享艺趣者，潜心数学，裨益甚巨。数学之魅，令投身者沉迷，堪比诗人成篇时之狂热，此常令旁观者不解，亦使热忱之数学家遭嗤笑。阿基米德之事，可为典型。
——E. 兰佩《数学之演进》（柏林，光绪十九年），页二二