235. 为避免在每个案例中都需将思维回溯至遥远的初始原理，心灵应自备若干中间阶段——即中间原理，用以检验所遇命题。这些虽非自明原理，但若通过严谨无误的演绎从初始原理得出，便可作为确凿真理，以比普遍公理更直接的方式证明依赖它们的其他命题......数学家正是如此行事，他们不会在每个新问题中都通过所有中间命题回溯至第一公理。那些通过可靠论证确立的定理，可用来解决众多相关命题，其确凿性犹如重新遍历连接第一公理的整个链条。——洛克《理解力指导》第21节
欲免每遇一事，皆溯思维于渺远本原之繁，心当预立若干阶次，谓之“中间原理”，以验所逢命题。此虽非不证自明之理，然若由本原精严推演而得，则可奉为确论。其证他理也，较之公理更为径直……数学家之法即如此，非于每一新题皆历诸阶而溯首公理。凡经确证之定理，皆可解同类众题，其信然之态，宛若重循自公理至结论之全链也。——洛克《导悟》节廿一
236. 那些用以显示其他两者一致性的中介观念称为证明；当一致性或非一致性由此清晰呈现时，便称为论证——因其向理解力展示，使心灵明见其然。迅速发现这些（能揭示其他观念关系的）中介观念并正确运用的能力，我想就是所谓的洞察力。——洛克《人类理解论》第六卷第二、三章
凡能彰二念相合之理者，谓之“证明”；若其相合与否昭然若揭，则谓之“论证”。盖以此明示于智，令心豁然得悟也。夫能敏察此类中介之念，以明诸念之关联，并善加施用者，吾以为即“洞察力”也。——洛克《人类理解论》第六卷第二、三章
237. 数学的思辨命题并不涉及事实；……这门科学中的任何论证所能使我们确信的，只是某些假设与结论之间存在必然联系。当这些假设在特定实例中实际成立时，论证就迫使我们应用其结论。因此，若我能构造一个三边皆为精确数学直线的三角形，便可断言这个特定图形的三角之和等于两直角；但由于感官的缺陷，我永远无法确定我所绘制的图形与几何学原理中定义完全吻合，故绝不能自信地将数学定理应用于具体图形。另一方面，日常感官经验表明，几何学的思辨真理可以相当精确地应用于物质对象，足以满足生活需求；而这些应用已为社会带来极其重要的益处。——斯图尔特《人类心灵哲学原理》第3部第1章第3节
数学之思辨命题，不涉实事；此学之论证，唯证诸设与结论间必有联系。若诸设于实例中得验，则论证必推其果。譬如构三角之形，三边皆准于数学直线之定义，可断此形三角之和等于两直角。然以感官有阙，所绘之形终难全合几何之定义，故不敢遽以数学定理施于具体之形。然观诸日常，感官所察，几何之理施于万物，虽非尽善，亦足应世务之需。其于日用之实、家国之益，功莫大焉。——斯图尔特《人类心灵哲学原理》第三部第一章第三节
238. 任何合理的推理过程都无法得出前提中不包含的结果。——梅勒《化学与物理学生用高等数学》（纽约1902），第2页
凡推理之合乎道者，其所得之果，必不出前提所涵。——梅勒《化学与物理学生用高等数学》（纽约，1902），第二页
239. ……我们无法从数学磨坊中获取比投入更多的东西，尽管我们可能以对目标无限有用的形式获取它。——霍普金森《詹姆斯·福雷斯特讲座》，1894
……数学之术，犹磨坊然，所出之物，终不能逾其所入。然其形制之变，或于所求大有裨益也。——霍普金森《詹姆斯·福雷斯特讲座》，一八九四年
240. 自觉逻辑推理的铁律要求极大的毅力与谨慎；它进展缓慢，极少被天才的灵光所照亮。它几乎不了解语言学家或历史学家记忆中纷至沓来的各种事例所展现的那种敏捷。数学推理方法性进展的基本条件是：心智必须持续专注于单一要点，既不受旁支思想的干扰，也不为愿望与希望所动，沿着审慎选择的方向稳步前进。——亥姆霍兹《自然科学与整体科学的关系》《演讲集》第一卷（1896），第178页
夫自觉逻辑之推理，其律森严，非具坚忍之志、审慎之心者不可为也。其进也缓，罕蒙天才灵光之照。不若语言、史学之学，事例纷陈，可资迅捷参证。数学推理，欲得有序而进，必有其要：心当专守一境，不为旁念所扰，不因欲念而动，循既定之途，笃行不辍，乃克有成。
——亥姆霍兹《自然科学与整体科学之关系》，载《演讲集》第一卷（1896），第一百七十八页
241. 若总是必须将一切还原为直观知识，论证往往会冗长得令人难以忍受。因此数学家们机智地分解难点，分别证明中间命题。这其中也有艺术：由于中介真理（称为引理，看似题外话）可有多种设定方式，为辅助理解与记忆，最好选择那些能极大缩短过程、本身值得记住并值得证明的命题。但还有另一障碍：并非所有公理都易于证明，也难以将论证完全还原为直观知识。若我们执意等待这种还原，或许至今仍不会有几何学。——莱布尼茨《人类理智新论》第四卷第二、八章
若诸事必溯源于直观之知，则论证往往繁冗难竟。故数学家善剖疑难，分证诸中间命题。此中亦有妙术：盖中介之真理（谓之引理，虽若旁出之语），其立之法多途。为便悟记，当择可省周折、本身足资存证者。然犹有滞碍：非诸公理皆易证之，欲尽归论证于直观之知，亦非易事。若必待此还原而后已，则几何之学，或至今未兴也。
——莱布尼茨《人类理智新论》第四卷第二、八章
242. 在纯数学中，所有真理都必然相互联系（因为它们都必然联系于作为科学原理的假设），当原理数量越少时，其排列就越优美；这门科学最令人惊叹之处或许在于：从如此少的前提中竟能演绎出数量惊人的结论。——斯图尔特《人类心灵哲学原理》第三部第一章第三节
于纯数学之域，诸般真理，皆环环相扣，密不可分。盖其理皆本于科学之假设，此乃必然之联也。且原理愈简，则其架构愈显精妙。此学最称奇绝者，或在于以寥寥数端为基，竟能推衍出浩浩繁论，其数之巨，令人叹惋。——斯图尔特《人类心灵哲学原理》第三部第一章第三节
243. 数学中若出现争议，问题不在于某命题是否为真，而在于证明是否可用其他方式更简洁地进行，或该命题对推动科学是否足够重要而值得特别阐述和强调，或最终该命题是否只是其他更普遍真理（同样易于发现）的特例。——舒伯特《数学论文集与娱乐》（芝加哥1898），第28页
数学之有争议也，非争命题之真伪，而在论其证法可否更简，或命题于学术推进是否紧要，值此专论彰显，抑或此命题实为他处更普适真理之特例（且彼真理亦非难觅）。
——舒伯特《数学论文集与娱乐》（芝加哥，1898），第二十八页
244. 正如天文学家、物理学家、地质学家等客观科学研究者观察感性世界那样——这不是比喻而是事实——数学家的思维同样在逻辑宇宙中探寻存在之物：为寻找事实（理念、类属、关系、蕴涵等）而探索逻辑世界的高低深处；用无穷小分析这强力显微镜观察精微难捉摸之物；用无限演算这无界望远镜观察浩瀚难把握之物；对观察整理所得数据的秩序与内在和谐进行推测；不仅通过数学特有的完全归纳法验证假说，也像自然科学家那样借助实验检验与不完全归纳；常因意外发现而不得不放弃有希望的假说，或通过删减扩充来改造它——如此在自己的领域中，数学家完全复现了自然科学家所熟悉的探索过程、方法与经验。——凯泽《科学、哲学与艺术讲演录》（纽约1908），第26页
若夫天文学家、物理学家、地质学家之属，察验感性世界，此非譬喻，实乃确然之事。数学之士，亦犹是也，其思心于逻辑之宇宙，探寻存焉之物：或穷幽极渺，索理念、类属、关系、蕴涵之实；或假无穷小分析为显微之器，察幽微难辨之质；或借无限演算作望远之具，观浩渺无垠之域。既得观察之数，乃推其秩序，度其和谐。其证假说也，非独恃数学之完全归纳法，亦效自然科学家，以实验及不完全归纳验之。每因偶有新获，而弃向之可期假说，或删繁就简、增益改造。故数学之士于其领域，实复演自然科学者探索之历程、方法与经验也。——凯泽《科学、哲学与艺术讲演录》（纽约，1908），第二十六页
245. 认为数学不培养概括能力……除非加以严格限定，否则任何具备足够学识者都不会认同。数学的概括固然不同于物理科学的概括，但在把握难度与所需心智强度上，它们绝非微不足道，而是对科学思维最艰巨努力的绝佳准备。即使高等数学的基本概念（从微分计算开始）都是高度抽象的产物……要从众多数学运算结果中觉察共同数学规律（即便如二项式定理这般简单案例），都需要运用与发现开普勒定律相同的心智能力，并通过这些定律上升到万有引力理论。所谓普遍几何（笛卡尔及其后继者的伟大创造，通过单一推理同时解决整类问题）的每个过程，都是处理广泛概括的实践课程——从高度混乱的多样性对象中抽象出共同点，纯粹归纳科学在这方面也难出其右。即使如从特定三角形或其他图形配置中抽象，从辅助普通几何证明的图示中特定线条或点的相对位置抽象，这样基础的操作，也是对概括能力（有人竟奇怪地认为数学过程中不存在这种能力）非常有用的训练，且绝非总是易事。——密尔《对威廉·汉密尔顿爵士哲学的考察》（伦敦1878），第612-613页
或言数学“不擅培养概括之能”，然稍有识见者，若非加以严限，断难苟同。数学之概括，虽异于物理科学，然其理解之艰、心力之耗，绝非等闲，实为锤炼科学思维之至要法门。即如高等数学之基理（自微分学始），皆为高度抽象之果……欲于繁复运算中，察其共通之律（即便如二项式定理之简例），所需心智之力，与发现开普勒定律、推演万有引力理论者无异。至于普遍几何（笛卡尔及其后学之伟构，凭一理而解一类之题），其每一步骤，皆为精研广域概括之典范。自杂乱万象中抽离共相，即纯然归纳之学，亦未必能胜之。即便是普通几何中，自特定图形、辅助线点之位抽象本质，此类基础之功，亦为培育概括之能（竟有人妄言数学无此功用）之良训，且绝非易事。
——密尔《对威廉·汉密尔顿爵士哲学之考察》（伦敦，1878），第六百一十二至六百一十三页
246. 当美国最伟大的逻辑学家论述构成几何天赋的要素，列举构想力、想象力与概括力后，他停顿了。此时听众中有人质疑：推理力呢？即刻得到的回应既准确又精彩：推理论证——那不过是马车行驶的平坦铺路罢了。——凯泽《科学、哲学与艺术讲演录》（纽约1908），第31页
昔美利坚有大逻辑家，论几何天赋之要素，举构想、想象、概括三端，语毕稍驻。座中忽有人问：“推理之能当置于何处？”其应声答曰：“推理论证，犹车马所行之坦途耳。”其言简切精妙，堪称的论。
——凯泽《科学、哲学与艺术讲演录》（纽约，1908），第三十一页