1882. 一个数学问题通常可以用军事术语中所谓的“系统逼近法”来解决，也就是说，即使无法清晰预见通向答案的各个步骤，也能逐渐摸索出解决方案。但画法几何的问题必须彻底弄明白之后才能着手解决。其所有条件的范围，以及通向答案的每一步，都必须凭借想象力去把握。它必须被“强攻”下来。——G.S.克拉克，引自w.S.霍尔《画法几何》（纽约，1902年），第一章。
数学之题，常可用兵家所谓“渐逼之法”攻之：即虽未明见解题之阶，亦可渐探其解。然画法几何之题，必洞彻而后可试。其诸般条件之全域，及解题之每一步，皆需以想象握之。必“强攻”而得也。——克拉克引于霍尔《画法几何》（纽约，1902年），第一章。
1883. 画法几何的重要用途在于它在工业技艺中的应用——它为数不多的抽象问题，都能得到确定的解答，且本质上与曲面的接触和相交有关。因此，在各种建造技艺（如石工、木工、透视法、日晷制作、筑城术等）中可能出现的所有几何问题，都总能被视为单一理论的简单个别情况，而每种情况的具体条件都能确保得出解决方案。在那些认为人类迄今为止的所有成就都只是朝着对人类劳动进行哲学革新、朝着唯有精确性和逻辑性才能确保所有技艺未来进步的方向迈出第一步的哲学家眼中，这一创造必定极为重要……还可以说，画法几何有效地锻炼了学生的想象力——即构想空间中复杂几何组合的能力；而且，就其解答的性质而言，它属于古代几何学，而就其包含的问题的本质而言，它又接近现代几何学。——奥古斯特·孔德，《实证哲学》[马丁诺译本]，第一卷，第三章。
画法几何之大用，在施于工艺：其少量抽象之题，解之有定，实关曲面之接触、相交。故凡营造诸艺（如凿石、木工、透视、造晷、筑城等）所生几何之问，皆可视为一理之特例，各依其情，必可得解。哲人谓人类迄今之成就，不过迈向劳作之哲新、迈向唯精确与逻辑可保百艺进步之始步，此创于彼眼中，必为重。……又可言，画法几何善练学者之想象，使其能构空间中繁复之几何组合；就其解法而言，属古之几何，就其题之本质，则近今之几何。——孔德《实证哲学》[马丁诺译]，卷一，第三章。
1884. 或许可以说，在数学中处于中间位置的，莫过于三角学了。——J.F.赫尔巴特，《直观Abc构想》，《着作集》（克尔巴赫编）（朗根萨尔察，1890年），第一卷，第174页。
数学之中，居乎中者，盖三角学也。——赫尔巴特《直观Abc构想》，《着作集》（克尔巴赫编）（朗根萨尔察，1890年），卷一，页一百七十四。
1885. 三角学包含关于持续波动量的学问：所谓波动量，是指交替变大变小，且这种增减过程没有尽头的量……并非所有三角函数都是波动的，但可以说，在普通代数中，只有无穷级数是波动的；而在三角学中，只有无穷级数不是波动的。——奥古斯塔斯·德·摩根，《三角学与双代数》（伦敦，1849年），第一卷，第一章。
三角学含持续起伏量之学：起伏量者，迭为增减，而增减无已……非所有三角函数皆起伏，然可云：寻常代数中，唯无穷级数起伏；三角学中，唯无穷级数不起伏。——德·摩根《三角学与双代数》（伦敦，1849年），卷一，第一章。
1886. 我讨厌sin2φ这种写法，即便拉普拉斯用过它。要是担心sinφ2可能产生歧义（这种情况或许永远不会出现，或者说在提到sin(φ2)时极少出现），那我们就写成(sinφ)2，而不是sin2φ——按照类比，sin2φ本该表示sin(sinφ)。——高斯，《高斯-舒马赫通信集》，第三卷，第292页；第四卷，第63页。
吾恶sin2φ之记，虽拉普拉斯用之。若恐sinφ2有歧义（或永不有，或言sin(φ2)时罕见），则书作(sinφ)2可也，勿作sin2φ——依类，sin2φ当指sin(sinφ)也。——高斯《高斯-舒马赫通信集》，卷三，页二百九十二；卷四，页六十三。
1887. 对学生来说，或许初等数学中没有哪个部分比球面三角学更令人反感了。——p.G.泰特，《不列颠百科全书》第九版，“四元数”条目。
学子眼中，初等数学或无如球面三角学之可厌者。——泰特《不列颠百科全书》第九版，“四元数”条。
1888. “纳皮尔圆部法则”或许是已知的人工记忆法中最巧妙的例子了。——弗洛里安·卡约里，《数学史》（纽约，1897年），第165页。
“纳皮尔圆部法则”，盖为已知人工记忆之妙例。——卡约里《数学史》（纽约，1897年），页一百六十五。
1889. 古人所不知、由笛卡尔首次引入曲线和曲面研究的解析方程，不仅限于图形的性质，也不限于理性力学所研究的那些性质，它们适用于所有现象。没有哪种语言比它更通用、更简洁，更少错误和晦涩，也就是说，更适合表达自然界中不变的关系。——傅里叶，《热的解析理论》，序言。
古人未知、笛卡尔首引入曲线曲面之研之解析方程，不独限于图形之性、理性力学所究之性，实通诸象。无有语言更普、更简、更少误与晦，即更宜表自然中不变之关系者。——傅里叶《热的解析理论》，序言。
1890. 想到人类在某些探索与发现的历史性时刻所怀的激动之情，人们总会心潮澎湃——哥伦布首次望见美洲西海岸时，皮萨罗凝视太平洋时，富兰克林看到风筝线引下电火花时，伽利略第一次将望远镜对准天空时。这种时刻也会降临到抽象思维领域的研究者身上，其中尤为重要的，当属笛卡尔躺在床上发明坐标几何方法的那个清晨。——A.N.怀特海，《数学导论》（纽约，1911年），第122页。
念及古之探险家与发现者于历史性时刻之豪情，不禁心潮澎湃——哥伦布初睹西陆海岸，皮萨罗凝望太平洋，富兰克林见风筝线引电火花，伽利略首以望远镜观天。抽象思域之学子亦有此际，其中尤着者，乃笛卡尔卧榻创坐标几何之晨。——怀特海《数学导论》（纽约，1911年），页一百二十二。
1891. 人们常说，方程中只包含被代入其中的东西。但不难回应：事物所呈现的新形式本身，往往就构成了一项重要发现。更有甚者：分析学仅通过其符号的巧妙运用，就能催生出远超最初范围的概括。——E.皮卡，《美国数学会通报》，第2卷（1905年），第409页。
世人常言：方程之中，唯纳所代之物而已。然不难对曰：物呈新态，其形自显，每成要妙之得。况复有进者：解析之术，但凭符巧，竟能肇启远逾初畴之广推。——皮卡《美国数学会通报》，卷二（1905年），页四百九。
1892. 我们选择何种线条来解决问题，并非由方程的简单性决定，而是由描述的简便性决定。因为表达抛物线的方程比表达圆的方程更简单，但圆因其构造更简便，反而比抛物线更早被认可。——牛顿，《方程的线性构造》；《普遍算术》（伦敦，1769年），第2卷，第468页。
择线解题，非由方程之简繁而定，实以述形之便易为衡。盖抛物线之式虽简于圆，然圆以构形易简，反先得识焉。——牛顿《方程之线性构造》；《普遍算术》（伦敦，1769年），卷二，页四百六十八。
1893. 只有从初等学科过渡到解析几何，数学研究才能充分展现其塑造思维的力量。毫无疑问，最简单的几何与代数已经能让心智习惯于清晰的定量思考，也习惯于只将公理和已证明的内容视为真理。但用曲线或曲面表示函数，却揭示了一个全新的概念世界，并教会人们运用人类心智为提升自身效能所发明的最富有成效的方法之一。维埃特与笛卡尔发现这一方法时为人类带来的东西，如今也会带给每一个在某种程度上有能力理解它的人：一道具有人生里程碑意义的灵光。这一方法植根于人类认知的最深处，因此其意义全然不同于服务于特定目的的巧妙技巧。——埃米尔·杜·布瓦-雷蒙，《演讲集》第一卷（莱比锡，1885年），第287页。
数学之研修，唯自初等而入解析几何，其塑思之力方得尽显。固简浅之几何与代数，已使心智习于精审之量思，亦习于唯信公理与已证者。然以曲线或曲面表函数，却启一新概念之境，示人类心智为增效能所创最丰饶之法。维埃塔与笛卡尔发此法所予人类者，今亦予凡有禀赋者：一划时代之灵光。此法植根于人类认知之深处，其义远非应特定之巧术可比。——布瓦-雷蒙《演讲集》卷一（莱比锡，1885年），页二百八十七。
1894. 《螺旋之歌》
无论是运动的形态还是刚性的物体，
无论处于何种条件，
在每两个位置之间，
都必定沿着连续的螺旋移动。
它一边旋转，一边滑动——
这便是我歌声的主旨。
螺旋的螺距乘以旋转的角度，
就会得出它在平移运动中
必须滑动的距离。
螺距无穷大意味着纯粹的平移，
螺距为零意味着纯粹的旋转。
两个给定螺旋上的运动，
有着任意的幅度，
会融合成第三个螺旋运动，
其幅度可通过
平行四边形法则来度量
（这是一个非常明显的推论）。
它的轴线与那条节线相交，
节线与两个螺旋都垂直，
并生成一种神圣的形态，
其正式名称是
“三次直纹曲面”。
而我名为柱形螺面。
绕给定直线的旋转，
就像沿直线的力，
若你不愿称之为力偶，
那显然是错误的；——
稍加思考便知，
一条直线并非仅仅是一个方向。
力偶与平移也
在各方面都相符；
因此，在螺旋中
凝聚着一种奇妙的和谐，
关乎运动学与静力学——
这是数学中最美妙的事物。
一个螺旋上的力，
与另一个螺旋上的运动，
通常会做一些功，
其大小可通过
角度、力以及我们所谓的
虚系数来计算。
现在将旋转转化为力，
再将力转化为旋转；
我们可以断言，
尽管发生了转化，功却保持不变。
若两个螺旋不做功，
它们就会被称为互反螺旋。
五个数可以定义一个螺旋，
六个数可以定义一个螺旋运动；
因为四个数能确定轴线，
再一个数能确定螺距；
因此，我们总能设法找到
一个与五个螺旋互反的螺旋。
两个、三个、四个或五个螺旋组合起来
（这里不涉及六个），
会产生其他螺旋，这些螺旋
被限定在一个螺旋复形中。
由此，我们能对
运动的自由度与约束获得最清晰的认识。
在第三类复形中，
每个点都有三个不同的螺旋，
若你选定一个方向，
就会有一个螺旋符合你的想法；
而第三阶复形
可以是自身的互反复形。
在第四类复形中，无论你到达何处，
都会发现一个螺旋锥，
在第五类复形的每条直线上，
恰好有一个螺旋；
在这个内容丰富的复形的每个点上，
都有一个给定螺距的螺旋平面。
但我没有时间详述
阶与度；
也无暇谈及冲量、能量、力
以及互反性。
所有这些乃至更多，对于微小运动，
鲍尔博士都已论述过。
——佚名
《螺旋铭》
夫形之动也，刚柔殊态，境遇异方。然凡物移于二位之间，必循螺旋之径。其体也，回旋而进滑——此乃吾歌之要旨也。
螺旋之距，乘其转幅，则得滑行之程。距若无穷，则为直进；距若归零，则为纯旋。
二旋相合，其度任意，乃生第三旋动。其度可度，依平四之法（此理甚明）。其轴交于节线，节线垂于双旋，乃生神圣之形，雅称三折直纹，吾名之曰柱形螺面。
绕定轴而转，犹施力于直。若不以力偶称之，谬矣！——细思之，直线非徒方向而已。力偶与直进，诸般相契；故螺旋之中，蕴动静之妙谐，乃算学至美者也。
一旋之力，与另旋之动，常有所功。其量可计，依角、力及所谓虚系。今化转为力，复化力为转；虽形变而功恒。若二旋无功，则称互反。
五数定一旋，六数定旋动。盖四数以定轴，一数以定距；故恒可求得与五旋互反之旋。
二、三、四、五旋相合（不及于六），生他旋焉，束于复形。由是得明运动之自由与约束。
第三复形，点各有三异旋。择向而行，必得一旋应之；而三阶复形，可为己之互反。
第四复形，行处皆见旋锥。第五复形之直线上，恰得一旋；此丰盈复形之每点，皆有定距旋面。
然吾未暇详阶度之分，亦无暇论冲量、能力、力及互反。凡此种种，至于微动，鲍尔子已述备矣。
——无名氏