1570. 对于所有高级建筑艺术而言，具备一定的数学知识是必不可少的。乡村木匠缺乏理论指导，只能靠学徒时学到的经验法则来安排工作；而不列颠大桥的建造者也是如此，他们时刻都要参照数量关系的规律。购买土地时依赖测量员的测量结果；建筑师设计要建在土地上的宅邸；建造者准备预算；工头规划地基；石匠切割石料；各种安装配件的工匠，全都要遵循几何原理。铁路建设从头到尾都由数学主导：从绘制平面图和剖面图，到标出线路，再到测量路堑和路堤，设计、预算和建造桥梁、涵洞、高架桥、隧道和车站，都是如此。沿海和全国各地的港口、船坞、码头以及各种工程建筑，还有地下的矿井也是如此。此外，应用于天文学的几何学催生了航海术，而借助这门科学，庞大的对外贸易才成为可能。这种贸易养活了我们很大一部分人口，为我们提供了许多生活必需品和大部分奢侈品。如今，甚至农民为了正确铺设排水沟，也会使用水准仪——也就是几何原理。
——赫伯特·斯宾塞《教育》第一章
凡营构巨制，必资数理。村野之匠，虽凭经验，亦暗合度量之规；若夫造桥跨海者，更不离方圆之法。量地、构宇、估费、筑基、琢石、设器，皆循几何之理。筑铁道者，自绘图标界，至凿隧架梁，无一不倚算学。至于港坞、津梁、矿冶之工，罔不如此。且天文之几何，演为航海之术，通万国之贸，济万民之需，此数理之功，岂可轻忽？即今田叟治渠，亦用水平之仪，此非几何之道欤？
——斯宾塞《论教》首章
1571. [算术]是另一把重要的生活万能钥匙。天文学家凭借它打开天国的深处，工程师用它开启大山的大门，航海家用它开辟深海的航路。对数字的巧妙排列和快速运算，就像一根完美的魔法棒。美国庞大的内外贸易，都要经过成千上万勤奋忠诚的职员所记的账簿。英格兰银行有八百名记账员，他们结算着半个文明世界的货币余额。他们运用普通算术规则的技巧和准确性，与商人的进取精神和资本、航海家的勤奋和勇气同样重要。我看待一本记录良好的分类账，就像欣赏一幅画或一座雕像一样，它是一件美丽的艺术品。
——爱德华·埃弗里特
《演说与演讲集》（波士顿，1870）第三卷，第47页
算术者，世之密钥也。天文学家持以探太虚，工程师持以开险隘，航海家持以济沧溟。算筹之巧，犹若神杖。观夫美邦商道，内外交贸，皆汇于簿册；英伦银号，八百计吏，掌半世之财权。其运算法之精，与商贾之资、舟子之勇，同功共烈。善缮之账簿，条理井然，如观丹青、临雕镂，亦人间之妙艺也。
——埃弗里特
《演说集》（波士顿，同治九年）第三卷，四十七页
1572. [数学]堪称丰饶之母，几乎可说是所有技艺的源头、科学的坚实根基，更是人类事务中益处的丰富源泉。从最后一点来看，可以说我们从数学中获得了生活的主要乐趣、健康的保障、财富的增长以及劳动的便利：我们得以优雅舒适地居住，为自己建造体面的房屋，为上帝修建庄严的庙宇，并为后代留下奇妙的纪念碑；我们凭借那些城墙抵御敌人的入侵，正确地使用武器，巧妙地部署军队，用战术而非野兽般的疯狂来指挥战争；我们在欺骗性的波涛中安全地进行贸易，在茫茫大海中沿着笔直的航线航行，凭借变幻的风力抵达预定的港口；我们正确地结算账目，高效地处理事务，排列、制表并计算零散的数字，即使是表示大量的沙子，甚至是巨大的原子堆，也能轻松计算；我们和平地划分土地的边界，在天平上检验重量的差异，用公正的度量分配每个人的份额；我们用轻微的力量就能按自己的意愿推动巨大的物体，用很小的力量就能阻止巨大的阻力；我们精确地描绘地球的面貌，让宇宙的运行规律呈现在我们眼前；我们恰当地梳理流逝的时间序列，按适当的间隔区分所发生的事情，正确地计算和辨别季节的各种轮回、年月的固定周期、昼夜的交替增减、光影的模糊界限以及时分的精确差异；我们将太阳光线的微妙能量为己所用，无限扩展视觉的范围，放大事物的近处表象，将遥远的事物带到眼前，发现隐藏的事物，探寻大自然的隐秘，揭开她的黑暗奥秘；我们用美丽的图像愉悦眼睛，巧妙地模仿自然的设计并描绘自然的作品；我是说模仿吗？不，是超越，因为我们为自己创造不存在的事物，展示不在场的事物，再现过去的事物；我们用悦耳的声音使心灵得到放松、让耳朵感到愉悦，将空气不稳定的波动调节成音乐旋律，给无生命的木头增添悦耳的声音，从坚硬的金属中引出甜美的音调；用和谐的赞美歌颂我们的造物主，恰如其分地模仿天国的神圣唱诗班；我们接近并考察难以抵达的云层所在之处、遥远的陆地、人迹罕至的海上路径、高耸的山顶、低洼的山谷和深邃的海底；在心灵中我们上升到天上的圣徒那里，是的，把他们吸引到我们身边，攀登以太的高塔，自由地在天国的田野中漫步，测量星星的大小，确定星星之间的间隔，为天空本身制定不可侵犯的法则，将星星的徘徊轨迹限制在固定的范围内；最后，我们理解宇宙的巨大构造，欣赏并沉思神圣造物的奇妙美丽，通过特定的实验了解我们自己心灵的惊人力量和智慧，并以虔诚的情感承认上天的恩赐。
——艾萨克·巴罗
《数学讲义》（伦敦，1734），第27-30页
数学者，艺之母也，百工之基，万利之源。藉此学也，民生得乐，康泰可保，财货以丰，役作皆便。于是广厦崇台，以安其身；琳宫宝刹，以祀神明；丰碑巨构，以遗后世。城垣坚立，可御外侮；兵阵精整，善用韬略，非若蛮野之徒，徒恃血气。商舶浮海，涉鲸波而不危；星槎指津，凭风势以达岸。算帑藏则毫厘不爽，理簿籍则繁冗立明，虽沙聚成山，原子累岳，亦可顷刻而解。疆界以正，权衡以平，分物有制，各得其宜。四两可拨千斤，纤力能止万钧。测坤舆则毫发无差，观天象则幽微毕现。更可序四时之变，辨昼夜之长短，察光影之消长，审分秒之精差。驭日光以为用，扩目力而穷极，隐微毕现，造化尽彰。绘事精妙，巧夺天工；音律谐和，绕梁三日。金石能言，丝竹成韵，歌赞上苍，恍若仙乐。于是上穷碧落，探云汉之秘；下极黄泉，索溟海之奇。越重峦，临深谷，步太虚，量辰宿。制天规以定星轨，立大法而驭玄穹。终乃悟宇宙之宏构，叹神工之鬼斧，明心智之无穷，感天恩之浩荡。
——艾萨克·巴罗
《算学讲疏》（伦敦，清雍正十二年），页二十七至三十
1573. 经济学家、慈善家、商业专家、精算师，甚至医生，都采用统计的分析和图形处理方法，取得了令人惊讶的宝贵成果；而涉及数学方法的符号语言几乎已成为每大型企业的一部分。处理生铁似乎没有为数学应用提供任何机会。然而，对宾夕法尼亚州伯利恒市这种材料长期实验数据的图形和分析处理，导致发现了疲劳与负荷和休息时间之间特定关系成比例的定律。该定律的实际应用使每人每天处理的量从12.5吨增加到47吨。如果没有对数学的简单不变要素的初步了解，这种研究是不可能的。
——L.卡尔平斯基
《高中教育》（纽约，1912），第6章，第134页
今之治经世、怀仁爱、擅商贾、精筹算乃至业岐黄者，皆用数理析象绘图，往往收效奇伟。至于商肆巨擘，亦以算学符号为用。即若冶铁之事，初看似与数理无涉，然宾夕法尼亚伯利恒诸匠，累年实验，绘图析数，竟得疲困之律，知其与负载、休憩之数相关。用此律，则工效倍增，日运铁由十二吨半而至四十七吨。若非先明算学精要，安能有此创获？
——L.卡尔平斯基
《庠序新说》（纽约，民国元年），卷六，页一百三十四
1574. 那么，计算和算术似乎属于我们现在正在研究的学习分支——因为军人必须学习它们，以便指挥军队，哲学家也必须学习它们，以便在摆脱变化的不稳定状态后理解真实的存在，否则他永远无法成为一个善于推理的人。
他回答说：这是事实。
而我们的护卫者恰好既是军人又是哲学家。
格劳孔，那么为这门科学制定法律并说服那些即将从事最重要国家事务的人致力于计算并学习它，是恰当的，不是以普通的粗俗方式，而是为了通过理智本身来思考数字的本质——不是为了像焦虑的商人和零售商那样买卖，而是为了战争，也为了让灵魂获得一种从生成转向真理和真实存在的能力。
——柏拉图
《理想国》[戴维斯译本]，第七卷，第525页
1574. 或问：算学当入治学之途乎？答曰：军将习之，以娴阵法；哲人习之，以窥真如。若昧于此道，则智思难明，终难达于妙理。
问者曰：善。
又曰：然城邦之守护者，兼具将略与哲思。
故曰：格劳孔，当立算学之规，劝治邦者精研此道。非为市井商贾锱铢之利，乃为战阵决胜，更为启迪灵智，使灵魂超脱幻相，直抵真理本源。
——柏拉图《理想国》（戴维斯译），卷七，页五百二十五
1575. 算术与几何的科学层面，相较于社会从其普遍应用中所获得的巨大益处，更有助于规范人们的思维与观念。而这种作用无法通过实践在社会中传播，因为实践者无论多么熟练，对这门科学的了解并不比他们使用的工具更多。他们只是接受了科学工作者传授给他们的规则，却丝毫不探究这些规则所源自的原理。并且，规则越精确，探究原理的必要性就越小，因此，让他们将注意力转向基本原理也就越困难。所以，一个国家应当同时拥有科学型和实用型的数学家。
——詹姆斯·威廉姆森
《欧几里得原理与论文集》（牛津，1781）
算术、几何之学理，较诸其于世所用之利，更善规人心、正思虑。然此益非践行可广布于众。盖操术者虽巧，于学理之知，不逾其器。彼守成法于前贤，而弗究其本；法愈精，则求本之意愈怠，故欲其返观元始之理，难矣。是以一国之中，当兼蓄明理之硕学、致用之巧匠。
——詹姆斯·威廉姆森
《欧几里得原本附论》（牛津，乾隆四十六年）
1576. “没有可测量的东西，就没有可计算的东西”，因此在心理学研究中不可能应用数学。这是一个由固守惯例和表面真理构成的三段论。至于后者，“只有在我们已测量之处才能计算”的说法完全错误，事实恰恰相反。每一个假设的数量组合规律，即使被认为是无效的，也都可以进行计算。而对于深藏却重要的问题，必须尝试各种假设，并对其推导的结果进行精确计算，直到发现各种假设中哪一个与经验相符。因此，古代天文学家尝试用偏心圆，开普勒尝试用椭圆来解释行星的运动，后者在发现行星公转周期的平方与平均距离的立方一致之前，也对它们进行了比较。同样，牛顿尝试了引力是否与距离的平方成反比，足以使月球保持在绕地球的轨道上；如果这个假设不成立，他就会尝试距离的其他次方，比如四次方或五次方，并推导出相应的结果来与观测结果比较。这正是数学最大的益处，它使我们能够在拥有充分明确的经验之前，就考察包含实际情况的各种可能性范围；这使得我们可以利用非常不完整的经验迹象，至少避免最粗浅的错误。在金星凌日被用于测定太阳视差之前，人们就尝试确定太阳恰好照亮月球半圆面的时刻，以便从已知的地月距离计算日地距离。这是不可能的，因为由于心理学原因，我们的时间测量方法过于粗糙，无法给我们足够精确的所需时刻；然而，这次尝试让我们知道，日地距离至少是地月距离的几百倍。这个例子清楚地表明，即使在无法进行精确观测的情况下，对一个量的非常不完美的估计，只要我们知道如何利用它，也可能变得很有启发性。难道必须先知道我们太阳系的规模，才能了解其总体秩序吗？或者，从另一个领域举例，难道必须先确切知道一个物体在某个确定地点一秒钟下落多远，才能研究运动定律吗？完全不是。这种对基本量的测定本身极其困难，但幸运的是，这类研究自成一类；我们对基本定律的了解不必等待这些测定。当然，计算促使人们去测量，而某些量的每一个容易观察到的规律性，都是数学研究的动力。
——J.F.赫尔巴特
《着作集》[克尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890），第5卷，第97页
或曰：“无度则无算。”故以数学入心理之研，必不可得。此说拘于旧例，貌似确论，实则大谬。夫算者，非独因度而生；即虚设之数量之律，纵有未验，亦可推演。至若幽隐要旨，必假众说，精算其果，以合于实。古之天学家试以偏心圆解星行，开普勒以椭圆推之；又比行星周时之平方、距日之立方，终得妙合。牛顿亦验引力与距之方反比，若未合，则将更试他数。此数学之大用也：使吾人未备实证，先穷众理，避妄求之失。昔人未借金星凌日测日距，尝欲据月望之刻，推日地之遥。然测时之术未精，所求难确；然由此知日远于月者，数百倍计。由此观之，量虽未精，若善推求，亦足发蒙。岂必先知太阳系之广袤，而后明其序？亦岂必先知落体之数，而后究运动之律？非也。盖求度量之基，事固繁难；然探理之本，不待于此。算学促人考度，而物之常则，又启算学之思，二者相济也。
——J.F.赫尔巴特
《文集》（克尔巴赫编，朗根萨尔察，光绪十六年），第五卷，九十七页