=1405.=没有数学，就无法探知哲学的深度；没有哲学，就无法探知数学的深度；没有两者，就无法探知任何事物的深度。
——博尔达斯-德穆兰
（引自A.雷比埃《数学与数学家》，巴黎，1898年，第147页）
无数学，则难穷哲学之幽微；无哲学，则莫探数学之渊薮；二者皆废，则万物之理终不可知。
——博尔达斯 - 德穆兰
（引自A.雷比埃《数学与数学家》，巴黎，1898年，第147页）
=1406.=归根到底，数学不过是简单的哲学，而哲学则是广义上的高等数学。
——诺瓦利斯
《着作集》（柏林，1901年），第二部分，第443页
溯其本源，数学乃简易之哲学，哲学即高深之数学。
——诺瓦利斯
《文集》（柏林，1901年），第二卷，第443页
=1407.=有一条可靠的准则：当一位数学或哲学作者写得晦涩深奥时，他多半在胡言乱语。
——A.N.怀特海
《数学导论》（纽约，1911年），第227页
观学人之述，若数学、哲学之论故作玄虚、晦涩难明，大抵虚妄无实。
——A.N.怀特海
《数学导论》（纽约，1911年），第227页
=1408.=哲学是我们教育的真正完成者，但数学的职责是抵御哲学的风险。
——J.F.赫尔巴特
《裴斯泰洛齐的直观Abc理念》；《着作集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890年），第一卷，第168页
哲学为教育之归宿，而数学则如屏藩，可御哲学之弊。
——J.F.赫尔巴特
《裴斯泰洛齐直观教育要义》；《文集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890年），第一卷，第168页
=1409.=自古至今，数学都被视为哲学思维最不可或缺的训练；在最高领域，数学家的研究确实与纯粹的思辨紧密相关。数学是精确知识与理论思维的最完美结合。
——E.库尔提乌斯
《柏林月刊报告》（1873年），第517页
自昔至今，数学素为哲思之津梁。至其极境，数学家之研索，与玄想冥思几无分别，堪称精确之知与理论之思完美合一。
——E.库尔提乌斯
《柏林月刊汇刊》（1873年），第517页
=1410.=在知识史上，几何学始终具有至高无上的重要性。
——伯特兰·罗素《几何学基础》（剑桥，1897年），第54页
考诸知识源流，几何学之重，无可比肩。
——伯特兰·罗素
《几何学根基》（剑桥，1897年），第54页
=1411.=若不知正方形对角线与其边长不可公度，便不配为人。
——柏拉图（引自索菲·热尔曼《弹性曲面论文》）
不知方隅对角线与边长不可通约者，未足称人。
——柏拉图
（引自索菲·热尔曼《弹性曲面论》）
=1412=数学作为一门科学，其起源应归于希腊哲学家的理想主义需求，而非如传说所言，源于埃及经济的实际需求……亚当给田野里的走兽命名时并非动物学家，埃及的测量员也并非数学家。
——h.汉克尔
《近几个世纪数学的发展》（图宾根，1884年）第7页
数学成学之源，非如稗官所言，起于埃及治产之需，实乃希腊哲人意趣所求。犹亚当命名百兽，非为博物；埃及丈量田亩，未臻算学。
——h.汉克尔
《近世数学演进》（图宾根，1884年），第7页
=1413.=人类获取真理的确切知识，仅有两条路径：清晰的直觉与必然的演绎。
——勒内·笛卡尔《思维的指导法则》；托里《笛卡尔哲学》（纽约，1892年），第104页
求真理之确知，于人唯二途：一曰明睿之直觉，二曰必然之推演。
——笛卡尔
《致知准则》；托里《笛卡尔哲学》（纽约，1892年），页一百零四
=1414.=数学家在许多情况下证明了某些事为可能，另一些为不可能——若没有证明，这些结论便无人会信……数学提供了许多事物本质上不可能的例证，若未经严格证明，无人会相信。或许，若我们能在其他学科中像在数学中那样进行充分的演绎推理，便会发现许多我们毫不犹豫认定为可能的事，其实是不可能的。
——托马斯·里德《人类理智能力研究》，第四篇，第三章
算家多有证事之能与不能者，若无确证，人必不信……数学之中，示物之不能者众，非严证之，莫能服人。设若他学亦能效算学之推演，或可察诸多向以为能者，实乃不能也。
——托马斯·里德
《论人之智性能力》，第四篇，第三章
=1415.=若哲学家通晓数学，便会明白：模糊的言说允许每个人随意解读，导致观点分歧不断扩大，尽管辞藻华丽，甚至思考的对象极为宏大，却完全无法与数学抗衡。数学的每一个表述都兼具指导与推进作用，它赢得无尽惊叹，并非因其丈量广阔时空，而是因其展现了人类最惊人的智慧，超越了所有描述能力。
——J.F.赫尔巴特
《着作集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890年），第五卷，第105页
若哲人通数学之奥，则知浮辞虚言，虽文饰华美，纵论及宏大之旨，然任人各执己见，终不敌数学之严谨。数学之言，字字含教益、步步启新知，其令人称奇者，非在穷极天地之广，而在尽显人之巧思，妙不可述。
——J.F.赫尔巴特
《文集》[凯尔巴赫编]（朗根萨尔察，1890年），卷五，页一百零五
=1416.=德国人的才智固然卓越，但面对德国人的成果时必须加以分析。它们很可能是才智（I）与烟草烟雾（t）的组合。当然存在I?t?和I?t?的情况，但I?t?更为常见，甚至出现I?t??和I?t??。许多情况下还会掺入形而上学（m），而我认为I?t?m?中，必定满足b + c ＞ 2a。
注意：分析这三者的组合时，切勿混淆t与m，二者很可能是同构的。例如，I?t?m?很容易被误认作I?t?。恕我直言，那些将黑格尔、费希特等人列为康德思想继承者的人，恐怕是把t和m当成了同一事物。
——A.德摩根
《格雷夫斯·w.R.哈密顿传》（纽约，1882-1889年），第十三卷，第446页
德意志人之智，固为可观，然其所述之学，必详加剖析。大抵为智（I）与烟（t）之化合。常见I?t?、I?t?之例，而I?t?更众，甚至有I?t??、I?t??之态。多有混入形而上之学（m）者，愚以为I?t?m?之中，必有b + c ＞ 2a之规。
注：析此三者之合，慎勿混t与m，二者疑似同构。如I?t?m?易误作I?t?。斗胆言之，凡以黑格尔、费希特等为康德之续者，恐错认t与m为一物也。
——A.德摩根
《格雷夫斯·哈密顿传》（纽约，1882 - 1889年），卷十三，页四百四十六
=1417.=谷神星的发现者是巴勒莫的G.皮亚齐；这一发现尤为有趣，因为它公布之时，恰逢黑格尔发表着作，其中严厉批评天文学家不够重视哲学。他称哲学这门学问本可立即告诉他们，行星不可能超过七颗，因此研究哲学本可避免他们荒谬地浪费时间去寻找本质上不存在的东西。
——w.w.R.鲍尔《数学史》（伦敦，1901年），第458页
谷神星为巴勒莫皮亚齐所察，其事甚奇。盖其讯初传之时，恰逢黑格尔着书，严责天算之士轻忽哲学。黑氏称，哲学可明证行星至多七数，若究此学，何至于徒劳寻索本无之物？
——w.w.R.鲍尔
《算学史》（伦敦，1901年），页四百五十八
=1418.=谁能将自己的心智
按几何规则分割，
像划分行省般拆成方与圆？
——威廉·华兹华斯《序曲》，第二卷
孰能剖心魂，
循规作方圆？
——华兹华斯
《序曲》，卷二
=1419.=“命题”这位温柔少女，
真切地寻求“证明”的严厉帮助……
——塞缪尔·泰勒·柯勒律治《一道数学题》
命题娇娥求确证，
殷殷切切盼严师。
——柯勒律治《算题咏》
=1420.=数学一方面与日常生活和物理科学相连，另一方面与哲学相关——涉及我们对空间与时间的概念，以及关于数学真理的普遍性与必然性、我们对其认知基础等已产生的问题。
——亚瑟·凯莱
《英国协会演讲》（1888年）；《数学论文集》，第十一卷，第430页
数学者，一端系于日用与格物之学，一端连于哲思。涉时空之玄想，论数理之通必，究其认知之本，皆与之相关。
——亚瑟·凯莱
《英协讲辞》（1888年）；《算学论集》，卷十一，页四百三十
=1421.=数学教育……训练心智获得各种能力，这些能力与最伟大的形而上学家和哲学家的能力极为相近。基础代数的情况似乎支持相反的观点：解普通方程几乎可简化为像算术运算一样的机械过程。然而，将问题转化为方程绝非机械操作，其难度不同，所需的创造力也几乎涵盖各个层级；更不用说在数学应用于其他知识领域的每一步中，都会出现新的、在当前科学水平下无法解决的方程。
——约翰·斯图尔特·密尔
《对威廉·汉密尔顿爵士哲学的考察》（伦敦，1878年），第615页
算学之教，可砺心智，其能与玄学家、哲人所擅者相通。然基础代数之法，或似机械运算，如算术之求和，按部就班。然将题化式，绝非易事，难易不同，所需巧思各异。更有新出之式，以今之术不能解者，每见于算学应用他学之时。
——约翰·斯图尔特·密尔
《评哈密顿哲学》（伦敦，1878年），页六百一十五
=1422.=数学教育作为更艰深研究的预备，其价值在于方法的可适用性，而非学说本身。数学始终是一般演绎方法最完美的范例，而数学在简单物理分支中的应用，为哲学家提供了唯一的研习之所，使他们能有效掌握其技艺中最困难且重要的部分——运用简单现象的规律来解释和预测复杂现象。这些理由足以说明，数学训练是真正科学教育不可或缺的基础。正如柏拉图所言，一个不懂几何的人，缺乏成功钻研高级哲学分支的最重要资质之一。
——约翰·斯图尔特·密尔
《逻辑体系》，第三卷，第二十四章，第九节
数学之教，以为深造之基者，非在其说，而在其法。数学者，演绎之术之至善者也；其用于格物之简者，乃哲人研习妙道之津梁。盖于此可悟以简驭繁之方，推微知着之理，以解万象之赜，预变化之萌。以此观之，数学之训，诚科学教育之根本也。昔柏拉图云“不知几何者勿入”，良有以也，盖不通数学，则难臻哲学高深之境。
——约翰·斯图尔特·密尔
《逻辑体系》，第三卷，第二十四章，第九节
=1423.=形而上学推理的过程总是简短的。结论离作为基础的第一原理或公理往往只有一两步，很少更多，且不同结论之间互不依赖。
数学推理则不然，其领域没有界限。一个命题引出另一个，再引出第三个，如此无限延续。若问为何证明推理在数学中有如此广阔的天地，而在其他抽象学科中却局限于狭窄范围，我认为这主要归因于量的性质……数学量由无数部分组成，能在无数点上接触，并以无数不同方式进行比较。
——托马斯·里德
《人类心灵能力研究》（爱丁堡，1812年），第二卷，第422-423页
形而上之推，其径常短。结论距本原公理，不过一步两步，鲜有过之者，且诸结论各自为证，不相倚赖。
数学之推，则异于是。其域无疆，一理引他理，他理复相生，辗转无穷。或问：何以证明之术，于数学则驰骋广野，于他学则局促一隅？吾以为，此由“量”之本性使然。数学之量，析之无尽，可交者众，可比者繁，故推演之途，绵绵不绝。
——托马斯·里德
《论人心之能力》（爱丁堡，1812年），第二卷，第422 - 423页