646. 一门科学的起源通常不是在某部系统性的着作中，而是在对某个特定问题的研究和解决中。这在数学科学任何一个领域的重大进步的常见历史中表现得尤为明显。某个数学或物理问题被提出来，人们发现用已知的方法无法解决。这种无法解决的情况可能有两个原因：要么是没有足够强大的工具来完成所需的推导，要么是研究者不够熟练，无法用他们的工具来完成全新的工作。不过，提出的问题最终还是会被解决，而在解决过程中必然会引入某个新原理或旧原理的新应用。如果一个原理被揭示出来，很快就会发现它的应用不一定只限于导致它被发现的那个特定问题，然后它会以抽象的形式被阐述，并应用到普遍性逐渐增加的问题上。
性质相似的其他原理会被补充进来，而最初的原理本身也会随着时间的推移得到必要的修改和扩展。旧原理的新应用也是如此：这种应用一开始被认为只限于某个特定问题，但很快就会认识到这个问题只是一大类问题中的一个（而且通常是很简单的一个），同样的研究和解决过程对这一大类问题都适用。这两种情况的结果是一样的。总有一天，这些不同的问题、解决方案和原理会被归到一起，形成一种全新的、一致的方法；接着会采用专门的术语和统一的符号体系，而这种新方法的原理也有资格成为一门独立的科学。
——托马斯·克雷格《投影论》序言；美国海岸与大地测量局，财政部文件第61号
凡科学之源起，非肇于系统之论着，而多生于专题之研索。此于数学诸科之演进，尤为显着。或数学、或物理之题，以旧法难解。其故有二：一者，无得力之器以成推演；二者，学者未精熟技艺以任新务。然难题终有破解之日，其过程中，必出新理，或创旧理之新用。新理既彰，人即知其用非囿于原初之题，遂抽绎其要，推及渐广之域。继而，类同之理相继而出，原初之理亦因时损益、屡经拓展。旧理新用之道亦然：初以为独适一题，后乃悟此题不过众题之一，且多属简易者，皆可用同一法推解。积渐至此，诸题、解法与原理汇为一体，成全新一贯之法。随之立术语、定符号，此新学乃成独立之科。
——克雷格，托马斯《投影论·序》；合众国海岸暨大地测量局，财政部文件，第六十一号
647.研究的目标是发现存在于现象要素之间的方程式。
——恩斯特·马赫《通俗科学演讲集》（芝加哥，1910 年），第 205 页
夫研求之旨，在于索现象诸元间恒存之等式。
——恩斯特·马赫《通俗科学讲疏》（芝加哥，1910年），卷二百有五
648.还请允许作者谦卑地补充……由于大量代数和算术的思考在他脑海中积压，等待着被转化为外在成果，他不得不面临两种选择：要么任由沉思的成果消亡（就像太多先前的理论那样，成为他大脑中夭折的产物，如今永远回归到思想的原始素材中），要么冒险时不时拿出像当下这样不完美的草稿。这些草稿旨在激发读者中已具备一定代数直觉的人的思维协作，而非满足严格系统化阐述的苛刻要求。
——J.J.西尔维斯特《哲学杂志》（1863 年），第 460 页
亦请容作者卑辞陈之……缘其胸臆之中，代数算术之玄思积久，待发于外者众矣。今唯面临两难：或坐视冥想之果凋敝（往昔多有妙论，宛若胎死腹中，重归混沌之思，此例实夥）；或不揣浅陋，时呈未竟之稿。此等拙作，非为完璧之论以应严谨之规，实冀唤起读者中精于代数者，相与琢磨，共探幽微。
——J.J.西尔维斯特《哲学丛谈》（1863年），卷四百六十
649.在其他科学分支中，快速发表成果或许被高度推崇，因而可能存在借口将草率或未经充分消化的成果公之于世，但数学中不存在这样的借口。形式应与内容同样完美，证明应像欧几里得的证明一样严谨。数学家需要处理自然界最精确的事实，他应当不遗余力地让自己的阐释配得上研究对象，并让作品达到最高程度的完善。高斯的座右铭是“少而精”。
——J.w.L.格莱舍《英国科学促进协会主席致辞，A 分会》（1890 年）；《自然》第 42 卷，第 467 页
他学之域，急于刊布者众，故或有粗疏之作面世，犹可谅也。然算学之道，不容此等苟且。文质须兼美，论证必法欧几里得之精严。盖算家所究，乃天地至精之理，自当殚精竭虑，使述作契合本旨，臻于至善。昔高斯有云：“少而成熟。”此诚为圭臬也。
——J.w.L.格莱舍《英吉利科学会进学总会A部主席演辞》（1890年）；《自然》，卷四十二，页四百六十七
650.解决问题的是人，而非方法。
——h.马施克《代数与分析的当前问题；艺术与科学大会》（纽约和波士顿，1905 年），第 1 卷，第 530 页
破题解惑，存乎人，非存乎法也。
——h.马施克《代数分析时务》；《学艺大会文集》（1905年），卷一，页五百三十
651.如今，分析学家的原理更为深远已无可置疑。事实上，综合学家缺乏开展代数构形一般理论所需的两点：一方面是虚元素的定义，另一方面是一般代数概念的解释。这两者后来虽以综合形式得以发展，但为此不得不放弃综合几何的本质原则。该原则在线性形式和二次形式理论中展现得极为出色，即通过可视化构造进行直接证明的可能性。
——费利克斯·克莱因《黎曼曲面》（莱比锡，1906 年），第 1 卷，第 234 页
今时学界，咸认解析之术，其道弘远。反观综合之法，欲立代数构形通论，尚阙二要：一者虚元之界说，二者代数通义之诠释。后虽以综合之法补全，然不得不暂弃综合几何之精要。此精要者，于线性之形、二次之式中彰显无遗，即借直观图证，直取真谛之妙法也。
——费利克斯·克莱因《黎曼曲面考》（1906年），首卷，页二百三十四
652.深奥的数学研究……常常因没有明显的物理应用而遭诟病。事实是，科学中最有用的部分往往是为了追求真理而被研究，而非出于实用性。过去二十年间兴起的一个数学新分支，曾被皇家天文学家在剑桥大学面前指责为注定被遗忘，只因它无用。如今却发现，我们在分子作用研究中无法深入的原因，正是对这一数学分支了解不足。
——w.K.克利福德《心理发展的条件；演讲与论文集》（伦敦，1901 年），第 1 卷，第 115 页
算学幽微之研，常遭訾议，谓其于世无用。然观夫科学之精粹，多因求真而发，非为致用而起。近廿载新立之算学一支，昔为皇家天学博士于剑桥学府斥为必亡之学，以其无用也。今乃知探究分子之秘，止步不前，正坐此学未精之故。
——w.K.克利福德《心学发微》；《讲论集》（1901年），卷一，页百一十五
653.在几何学中，如同在大多数科学中一样，孤立的命题能直接发挥作用的情况极为罕见。但实际上最具影响力的理论，是由仅因好奇心而被揭示的命题构成的，这些命题长期无用，人们也无法预见它们何时会不再无用。从这个意义上说，在真正的科学中，没有任何理论或研究实际上是无用的。
——伏尔泰《哲学词典》，“几何学”条目；（波士顿，1881 年），第 1 卷，第 374 页
几何之学，犹诸般格致，孤立之论鲜能速效。然经世之伟论，率由好奇所启、久置无用之命题缀合而成。昔人未能逆料，此等命题终有大用之日。由此观之，真科学中，无有理论、无有探究，可称虚费之功也。
——伏尔泰《哲学字诂》“几何”篇；（1881年），卷一，页三百七十四
654.科学学科的发展未必沿着直接实用性的路径前进。纯数学理论的许多应用，往往在实际发现之后许多年，有时甚至是几个世纪才出现。工具早已存在，只是人们尚未掌握使用它们的方法。
——A.R.福赛思《佩里的数学教学》（伦敦，1902年），第35页
格物致知之道，非必循致用之径。纯数之论，其用多显于发见之后，或历数稔，或越累世。譬犹利器在握，然乏善用之人，徒叹其能也。
——A.R.福赛思《佩里算学讲疏》（伦敦，1902年），卷三十五
655.在我们最具理论性的思考中，或许正最接近实际应用——这并非悖论。
——A.N.怀特海《数学导论》（纽约），第100页
穷理极奥之时，或近经世致用之境，此非谬言，实至理也。
——A.N.怀特海《算学发微》（纽约），卷百
656.尽管对于大多数从事工程、建筑、测量、地理、航海、水文、天文等领域研究与实践的人而言，二手知识、常用公式和适用表格已足以应对日常需求，但这些常用公式和熟悉规则，从科学萌芽至今，最初或逐渐源于最具天赋的头脑的深入探究……科学的进一步发展，及其可能应用于更宏大的人类实用目标和更深远的理论概括，是留给少数卓越智者的成就，他们时常受天赋启迪，致力于这些至高命题。正如物质世界充满潜在电能，知识世界也充满尚未被发现的潜在真理。
——爱德华·埃弗里特《演说与演讲集》第3卷（波士顿，1870年），第513页
夫工师、舆匠、测士、地官、舟师、水衡、天家之属，习常法、用旧式、稽故典，足应世务。然此等程式规矩，溯其源流，自鸿古以迄于今，皆贤哲睿思所萃，殚精竭虑而成。至于学术日新，推而广之，施诸大用，建此宏业者，必非常人。唯天纵之才，灵府独辟，乃克臻此。智海渊深，藏秘隐真，犹太虚之中，电精潜蓄，待时而发也。
——爱德华·埃弗里特《论说集》卷三（波士顿，1870年），卷五百一十三
657.若从用途角度审视数学思考，其似乎应分为两类：第一类是为日常生活或某门技艺提供显着优势的思考，其价值通常由这种优势的大小决定；另一类则是虽无直接益处，但能拓展分析边界、提升我们的资源与技能，因而具有价值的思考。鉴于许多本可带来重大价值的研究，仅因分析方法的不完善而被迫放弃，故那些有望拓展分析领域的思考，其价值不可小觑。
——莱昂哈德·欧拉《彼得堡科学院新刊》第4卷，序言
以功用论算学之思，约可二之：其一，利涉生民，益裨百工，其值以效验之巨细为断；其二，虽无近功，然能拓析理之疆，增致知之术。今夫精研之业，以析法未备而中辍者众矣，故能广析学之域者，其功不可没也。
——欧拉《彼得堡新录》卷四，序
658.圆锥曲线的发现（归功于柏拉图），首次为几何学家开启了对高阶图形的思考。若没有这一发现——在柏拉图时代及之后很久，它或许被视为思辨者无意义的消遣——当今实用哲学、天文学、抛射体理论、航海术的整个发展轨迹可能会截然不同；而世界历史上最伟大的发现之一“万有引力定律”，及其在人类研究与工业各领域无数直接或间接的推论与应用，或许至今仍未被揭示。
——J.J.西尔维斯特《几何学试讲课；数学论文集》第2卷（剑桥，1908年），第7页
昔传圆锥诸形之究，肇于柏拉图。自此，高妙之形，始彰于几何之学。设无此创，当其世及后，或目为虚诞之娱，无益于时。然今观之，若缺此学，则格物之术、天文之理、抛物之论、舟楫之法，皆将异途；而万有相引之律，及由此而生之百端妙用，或永堙于世，终不得显。
——J.J.西尔维斯特《几何发凡讲疏》；《算学丛稿》卷二（剑桥，1908年），卷七
659.对于那些试图将知识与研究局限于表面实用性的人，没有什么比这一事实更具警示意义：圆锥曲线被研究了一千八百年，纯粹作为一门抽象科学，除了满足数学家对知识的渴求外，不考虑任何实用性；而在这漫长的抽象研究期结束时，人们发现它竟是理解自然最重要法则的必要钥匙。
——A.N.怀特海《数学导论》（纽约，1911年），第136-137页
欲囿知于浅近、限研于实用者，当鉴圆锥之学：其历千八百载，唯为穷理而究，不务近利，专惬智者求真之怀。逮至期终，方知此学实为钥，可启自然至要之秘。此诚警世之殷鉴也。
——A.N.怀特海《算学发微》（纽约，1911年），卷百三十六至百三十七