431.儿童教育应逐步实现与的结合。在所有学科中，数学似乎是唯一能最完美达成此目标的科学。
——伊曼努尔·康德，《着作集》[罗森克兰茨与舒伯特版]第9卷（莱比锡，1838年），第409页
蒙童之教，当渐使“知”“行”合一。纵观诸学，唯数学能臻此至善之境。
——伊曼努尔·康德，《着作集》[罗森克兰茨与舒伯特版]卷九（莱比锡，1838年），第四百零九页
432.任何学科都须因其非功利价值而受尊重，否则无法激发钻研热情。
基于双重考量，我认为数学是普通学校的核心科目：它提供了无与伦比的思维训练，所产生的思维张力甚至超过古典语言，而其实用性更毋庸置疑。
——J. F. 赫尔巴特，《实科中学数学教学大纲》，《着作集》[克尔巴赫版]（朗根萨尔察，1890年），第5卷，第167页
凡学之可贵，非独在其功利，若无超用之价值，则学者莫能兴其志。以两端论之，数学当为庠序之枢要：一则其炼思之效，无与伦比，虽古典辞章，犹难及也；二则其用切于人事，不待辨而自明。
——J. F. 赫尔巴特，《实科中学数学教学大纲》，《着作集》[克尔巴赫版]（朗根萨尔察，1890年），卷五，第一百六十七页
433.研习数学的动机，在于洞察宇宙本质。星辰与地层、热力与电力、生成与存在的法则，无不蕴藏数学真理。如果说语言模仿造物主的声音以显露其心灵，数学则昭示其智慧，重演万物诞生的故事。数学的价值——它激发我们的能量与尊严，驱使我们认识真理，从而以正当身份栖居上帝之屋——在于让我们立足于日益宏大的确定性中。正如文学培养情感、理解与共情，数学则锤炼观察力、想象力与理性。
——w·E·钱斯勒，《教育中的动机、理想与价值理论》（波士顿与纽约，1907年），第406页
夫研治数学，其志在于洞彻宇宙之奥。星辰列宿，地层岩脉，热力电芒，生灭之律，莫不涵泳数理精蕴。若谓语言乃拟造物之声以彰其心，数学则显其神智，复演万物化生之迹。其学之贵，在激吾侪之志气，砺吾辈之尊严，驱策探求至理，使吾人以正途居于天地之间，立乎日益宏阔之确然境界。犹文学滋养情性、启迪同理心，数学则淬砺观物之明、运思之妙与析理之智。
——w·E·钱斯勒，《教育中之动机、理想与价值理论》（波士顿与纽约，1907年），第四百零六页
434.纯粹形式的数学——算术、代数、几何及解析法的应用，以及应用于物质与力的数学（静力学与动力学）——提供了独特的学问，让我们无论作为孩童或成人，都能从量的层面驾驭自然；数学锻造了我们在此领域挥动的思维工具。
——w·t·哈里斯，《教育的心理基础》（纽约，1898年），第325页
数学之纯粹者，若算术、代数、几何、解析诸术，及施于物象力理之学（静力学、动力学），皆为独特之艺。无论幼学垂髫，抑或耆年硕彦，皆可借此量度自然；此学锻造思维利器，使吾人得以驾驭万有之数。
——w·t·哈里斯，《教育之心理基础》（纽约，1898年），第三百二十五页
435.即便对自然界最简单的现象，若缺乏数学知识也难以理解；而试图深入自然奥秘时，必然需要同步发展数学方法。
——J·w·A·杨，《数学教学》（纽约，1907年），第16页
即观自然至简之象，若无数学之识，亦难索解；若欲探幽入微，穷究造化之秘，则必待数学之法日新日进。
——J·w·A·杨，《数学教学》（纽约，1907年），第十六页
436.若没有数学的辅助与介入，自然界的诸多领域既无法以足够精妙的方式构想，无法以足够明晰的方式证明，也无法以足够灵巧的方式加以应用。
——培根勋爵，《学术的进展》第二卷；《学问的进步》第三卷
设无数学襄助，自然诸域，既不能精思入微，亦难以确证于理，更无从善施其用。
——培根勋爵，《学术进展》第二卷；《学问之进步》第三卷
437.我承认，当我开始领悟数学对物理学的巨大功用后，常追悔年少时耗费大量时间钻研测量术与筑城术（记得曾写过整部专着）等实用数学，而未将那些精力用于研习几何理论和我早学过的美妙代数。
——罗伯特·波义耳，《数学对自然哲学的用途》；《着作集》（伦敦，1772年），第3卷，第426页
某尝自叹，始悟数学于物理之巨功后，常悔少壮之时，虚掷岁月于测量、筑城等实用之术（忆昔曾着专论），而未专心研习几何妙理、代数精义，此二者吾早尝涉猎，然未深究其奥。
——罗伯特·波义耳，《数学对自然哲学之用途》；《着作集》（伦敦，1772年），第三卷，第四百二十六页
438.数学赋予年轻人清晰的证明概念，使其习惯于构建条理严密、环环相扣的思维链条，并最终获得确凿结论；从道德视角看，它更培养出对真理绝对且虔诚的敬畏。此外，数学（尤其是代数与微积分）能极大激发对符号的认知——这些符号作为必要工具，通过以机械方式浓缩关系网络，极大扩展了人类心智的疆域。此类辅助手段在数学中价值非凡，因其完全契合定义（这点在物理与自然科学中则稍逊）。
事实上，唯有数学教育才能全面激活大量心智与道德潜能；若教学能给予学生充分自主探索空间，这些潜能将得到更充分发挥。
——m·p·E·m·贝特洛，《作为教育工具的科学》；《大众科学月刊》（1897年），第253页
数学可使少年明证理之要，习于构建环环相扣之思维脉络，终得确凿定论；以德性观之，更能涵养其对真理至诚至敬之心。且代数、微积分诸学，尤能启发符号之智。符号为思维利器，可凝缩万物关联，拓吾人心智疆界。此等辅助于数学中妙用无穷，盖因其与定义契合无间，较物理、博物诸科为胜。
实则唯数学之教，可尽发心智与德性之潜能；若教学得法，使学者自探其理，则潜能愈显，功益深矣。
——m·p·E·m·贝特洛，《作为教育工具之科学》；《大众科学月刊》（1897年），第二百五十三页
439.数学知识的价值，不仅在于它作为实现其他目的的工具，更在于其自身的存在意义。我们在数学系统性的外在发展与内在建构中，见证了最纯粹、最完整的逻辑思维活动——它是至高智力之美的化身。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆，《论数学的价值与所谓无用性》；《德国数学家协会年报》第13卷，第381页
夫数学之价值，非独为致他务之器，更在其本体之妙谛。观夫数学，其外展体系，内构理脉，皆显至纯至全之逻辑思维。此诚为至高智美之化身也。
——阿尔弗雷德·普林斯海姆，《论数学之价值与所谓无用性》；《德国数学家协会年报》第十三卷，第三百八十一页
440.数学从其所探讨关系的独特本质中，从简明而精确的表述方式中，从无数定理串联所展现的严谨逻辑中，获得了无可估量的优势。这些优势理应得到充分而专门的阐释。
——杜格尔德·斯图尔特，《人类心灵哲学》第2部第2章第3节
数学之利，源于其所究关系之独异，述理之简确，及诸定理相贯之严整逻辑。此无量之优长，诚宜详加阐发。
——杜格尔德·斯图尔特，《人类心灵哲学》第二部第二章第三节
441.我并不打算深入探讨——作为逻辑推理代表的数学研究，究竟该在基础教育中占据何等地位。但这确实是当今核心议题之一。随着科学疆域的扩展，其体系与组织必须不断完善，这必然要求学者接受比文法教育更严格的思维训练。
根据我对古典文科学校转入理工医学生的观察：首先，他们普遍缺乏严格运用普适法则的习性。长期学习的语法规则总附带冗长的例外清单，导致他们难以养成从绝对普适法则进行严谨推导的思维习惯。其次，他们往往过度依赖权威，甚至在可独立判断时亦然。
这是因为人文学科研究中，很少能一眼穷尽所有前提，争议问题的裁决常取决于对表达美感或语言特性的审美感知——这种感知需长期训练才能获得。因此即便最优秀的教师，也常将学生引向权威着作。
这两种缺陷都源于思维惰性与模糊性，其危害远超学术研究范畴。而数学正是根治这两者的良方——在这里，推理具有绝对确定性，唯一认可的权威便是自己的智慧。
——赫尔曼·冯·亥姆霍兹，《自然科学与一般科学的关系》；《科学通俗讲座》阿特金森版（纽约，1900年），第25-26页
仆无意深论数学——此逻辑推理之圭臬，于蒙学当居何位，然此实为今世要务。方今科学日辟疆土，其体系规制亟须完备，故学者必受严于文法之思维锻砺。以仆观古典文科诸生转习理工医者，其弊有二：其一，鲜循普适之规。彼等久习文法，常遇繁冗特例，故难成据绝对通则严谨推演之习。其二，每倚仗权威，虽可自断，犹然如此。
盖人文学术，其理难一蹴而穷，争议之判，多赖辞藻美感、语言特质之品鉴，此非久习莫能得。是以良师亦常导生徒宗仰典籍。
此二弊皆因思惰识昏，其害非独囿于学术。而数学者，恰为对症良药。盖于数学之域，推演必求确凿，唯己之智为尊，他无权威可恃也。
——赫尔曼·冯·亥姆霍兹，《自然科学与一般科学之关系》；《科学通俗讲座》阿特金森版（纽约，1900年），第二十五至二十六页
442. 什么使一个问题明确，什么让它不明确，最好从数学中理解。在误差范围内解决问题的极其重要的理念，正是源自数学的理性文化要素。通过曲线综合波动的艺术，在概念上可远超最初学习它的数学领域。定律与系数的区别适用于所有因果关系的部门。概率证据理论是数学对逻辑的贡献，具有至高重要性。——亚历山大·贝恩
《作为科学的教育》（纽约，1898年），第151-152页
欲明问题之显晦，莫若取鉴数学。夫以误差为界而解纷难，此至要之理，实肇端于数学之理性。其以曲线统摄波动之术，推而广之，可超数学藩篱。定律与系数之别，通乎因果诸域。概率证理之说，乃数学馈于逻辑之珍，厥功至伟。
——亚历山大·贝恩，《作为科学之教育》（纽约，1898年），第一百五十一至一百五十二页
443. 我们承认一个事实：有些人的心智天生需要抽象科学的严格逻辑来滋养；那种从前提严密推导出结论的思维序列，路径或许艰难狭窄，年轻的理性可能觉得难以攀登，但绝不会迷失方向。只要前进，就必然向上……即便对天生擅长道德证据和审美关系理解的不同心智，精确科学的研究仍是防止其易犯错误的最佳保障。尽管语言研究在许多方面是重要的逻辑训练，但必须承认，若没有数学训练，几乎不可能形成高度务实的思维。——爱德华·埃弗里特
《演说与演讲》（波士顿，1870年），第2卷，第510页
夫人之智性，固有需抽象科学之严格逻辑以滋养者。彼自前提推衍结论之思维脉络，虽险峻逼仄，年少之智或觉攀登维艰，然循之而行，必有所进，不至迷途。即有敏于道德之证、擅悟审美之妙者，研精于数理之学，亦可免蹈舛误。虽语言之习于逻辑训练多有裨益，然若无数学之功，终难成务实之思维。
——爱德华·埃弗里特，《演说与演讲》（波士顿，1870年），第二卷，第五百一十页