204. 纯粹数学以其内容和形式证明了自己是至高无上的科学——其内容与形式本身就包含了存在之因与证明之法。因为数学完全独立地创造了它所要处理的对象：其量值与规律、公式与符号。——迪尔曼《数学：新时代的火炬手》（斯图加特，1889），第94页。
纯粹数学，以内容与形制自证为王者之术。盖其自具存立之由、证法之道。数学独立创其所论：量律、式符，皆其所自造也。——迪尔曼《数学：新世之执炬》（斯图加特，1889），页九四。
205. 数学的精髓在于其自由性。——康托尔《数学年鉴》第21卷，第564页。
数学之精，在其无碍。——康托尔《算学纪年》卷廿一，页五六四。
206. 数学沿着自己的道路无拘无束地前进，这并非不受任何法则约束的恣意妄为，而是由其本性决定、与其存在形式相符的自由。——汉克尔《数学在近几个世纪的发展》（蒂宾根，1884），第16页。
数学自行其道，无拘无碍，非恣意妄为而无则，实本其性、契其形之自在也。——汉克尔《近世算学之进展》（蒂宾根，1884），页十六。
207. 数学在其发展过程中享有完全的自由，只需遵循以下基本原则：其概念必须自身无矛盾，并通过定义与既有的确立概念形成明确有序的关联。——康托尔《一般流形论基础》（莱比锡，1883），第8节。
数学之进，全得自由，惟须守其大本：诸义必不自相抵牾，复以界说与旧立之义明确有序相联。——康托尔《通类论基础》（莱比锡，1883），节八。
208. 在逻辑矛盾允许的范围内，数学家有权选择任何路径来达成结果。——亚当斯《致美国历史教师的信》（华盛顿，1910），引言第5页。
数学家有权，于理不悖处，自择途以致果。——亚当斯《上美国史教师书》（华盛顿，1910），引，页五。
209. 数学是我们这个时代的主导科学；它的疆域每天都在无声地扩张；今日不为其所用者，终有一日会发现它为他人所用而与己为敌。——赫尔巴特《着作集》第5卷（朗根萨尔察，1890），第105页。
数学乃当今显学也，日辟疆域而无声。不用诸己者，终见用于敌矣。——赫尔巴特《文集》卷五（朗根萨尔察，1890），页一〇五。
210. 数学既非定律的发现者（因其不是归纳法），亦非理论的构建者（因其不是假说），但它是两者的裁判官——任何定律要生效或理论要解释现象，都必须获得数学的认可。——皮尔斯《线性结合代数》，《美国数学杂志》第4卷（1881），第97页。
数学非定律之见者（不为归纳），亦非理论之构者（不为假说），实乃二者之司衡：凡律令欲施，理义欲明，必待数学首肯而后可。——皮尔斯《线联代数》，《美国算学杂志》卷四（1881），页九七。
211. 数学是一门持续扩张的科学；与某些政治和工业事件不同，它的发展总能赢得普遍的喝彩。——怀特《艺术与科学大会》第1卷（波士顿与纽约，1905），第455页。
数学之道，如川流之不息，其域日辟，其理愈精。非若时政之诡谲、百工之兴替，其演进之迹，天下皆颂，举世同欣。——怀特《艺科学会》卷一（波士顿与纽约，1905），页四五五。
212. 数学在量度领域之外实际上无所建树；然而它驾驭量度的技艺却令人叹为观止。我们立即会想到它围绕天地编织的网络：方位角与高度、赤纬与赤经、经度与纬度所参照的坐标系；那些横纵坐标、切线法线、曲率圆与渐屈线；那些预先准备就绪以待应用的三角函数与对数函数。观察这套工具就足以明白数学家并非魔术师，一切成就都是通过自然方式达成的；人们更会被大量精巧的所震撼——这些多元而高度活跃的智慧工业的见证，完美适用于获取真实而持久的宝藏。——赫尔巴特《着作集》第5卷（朗根萨尔察，1890），第101页。
数学之能，除度量之域，实无他建；然其驭度量之术，实令人叹绝。吾辈当即思其环天地而织之网：方位角与高度，赤纬与赤经，经度与纬度，所宗之坐标系；其横纵之坐标，切线法线，曲率圆与渐屈线；其预为备就以待用之三角函数、对数函数。睹此器即知数学家非术士，皆以自然之道成之；世人尤惊其巧器之众——此多元而敏慧之智业明证，于求索真恒之宝，适若符契。
——赫尔巴特《文集》卷五（朗根萨尔察，1890），页一〇一。
213. 数学家们只考虑那些具有清晰明确概念的事物，用恰当、准确且恒定的名称来指代它们。他们仅以少数最着名且确定的公理为前提，来研究这些概念的特性并从中得出结论；同时极谨慎地提出极少量的假设——这些假设完全符合理性，任何心智健全者都无法否认。同样，他们设定那些易于理解且能被普遍接受的生成法则或因果关系，严格保持论证顺序（每个命题都直接源自前设与已证结论），并摒弃一切看似合理却无法以相同方式推导出的内容。——巴罗《数学讲义》（伦敦，1734），第66页。
数学家唯取明彻之念，命以确当不易之名，先立数则显然而定之公理，以究其性而推其果；所设假言甚寡，皆极协理，非狂者所能非。亦立众易晓而共许之成因，严循序次，每题皆直承前设与已证，凡貌似而实不可同法推得者，悉弃不取。——巴罗《算学讲议》（伦敦，1734），页六六。
214. 熟练操控术语并用以辩护证明，世人多视之为学问要义；然此实为有别于真知之学——真知唯在察观念之关联，此观可无言而成，声音之介无所助焉。故见知识至丰处，辨说之用至寡：吾谓算学是也。盖算家持确定之念，配已知之名，既无歧义之隙，自无需辨析之劳。——洛克《理解力指导》第31节。
巧驭文辞而能据以卫驳，世多以为学之大端；然此异于真知。真知唯在观念相涉之理，可默识而无待于言。故见知至博处，辨至简：吾谓算学是也。算者持定念，予定名，无致疑之余地，故不需辨。——洛克《导悟》节卅一。
215. 诡辩在数学领域从来没有立足之地：因为数学家会明智地对使用的术语进行精确定义，还会把推理所依据的基本原理列为公理。所以数学界不存在宗派之间的争论，也很少有辩论诘难的情况。——里德《人类智力论集》第一论第一章。
诡辩之术，于数学之道素无栖身之所。盖数学家深谙精义，谨严厘定术语之界，复将推演所本之根本原理，奉为公理。是以数学之域，无门派党同伐异之争，鲜见诘难辩驳之讼，一派澄明之象。——里德《人心智论》首论首章。
216. 多数科学中，后辈推翻前人所建，一代所立复为下一代所毁；唯数学不然，每代人皆在旧厦之上添筑新层。——汉克尔《数学在近几个世纪的发展》（蒂宾根，1884），第25页。
诸学多后废前构，而数学独不然，代代俱于旧筑之上增新阶。——汉克尔《近世算学之进》（蒂宾根，1884），页廿五。
217. 数学乃明确与清晰之祭司。——赫尔巴特《着作集》第1卷（朗根萨尔察，1890），第171页。
数学者，明确昭晰之司也。——赫尔巴特《文集》卷一（朗根萨尔察，1890），页一七一。
218. 数学分析与自然本身同其广袤，它界定一切可感知的关系，测度时间、空间、力与温度；这门艰深的学科形成缓慢，却谨慎保存每个既得原理；它在人类心智的变迁与谬误中持续壮大。其首要特质是明晰——它无法表达含混的概念。它比较最悬殊的现象，发现统摄它们的隐秘类比。当物质因极稀薄（如空气与光）而逃逸我们的感知，当物体远置于浩瀚太空，当人类欲知相隔多世纪的天象变迁，当重力与热力作用于永远无法触及的地球深处时，数学分析仍能追踪这些现象的定律。它使其呈现并可测量，仿佛是弥补生命短暂与感官缺陷的人类心智机能。更非凡的是：它研究所有现象遵循相同路径，用同种语言解释万物，似在见证宇宙规划的统合与简约，更昭显统御一切自然因果的永恒秩序。——傅里叶《热分析理论·导论》
数学分析者，与造化同其广大，定一切可察之关系，度时量空，衡力测温。其为学也艰深，成之也渐，然得一理则谨守不失；虽人心屡变多谬，而其道日进不息。其要在于明晰，无以表浑沌之思。能较殊类之象，发其隐通之理。若气光至微而不可执，天体至远而不可即，欲考累世之天象，测地心不可至之处的引热之力，算理皆能推其律。使若在目前而可度焉，似补人寿之短、官知之缺。尤异者，究万象而同其术，释万类而用一言，若证宇宙本一且简，显自然因果不易之序。——傅里叶《热解析论·导言》
219. 今当宣示悟性臻于确知无谬之道，其途有二：直观与演绎。所谓直观，非变幻之官感见证，亦非想象天然恣肆之推判，乃专注心灵所获分明洞彻之念，对所悟之物毫无疑滞；或谓健全专注之心自证之念，此念唯由理性之光而生，较演绎本身更确凿，因其更纯粹......或问：既得直观，何须复加演绎之知？即自确知之物推演必然结论之程。然此第二步实不可废，盖有诸多事物虽不自显，然若自真确不争之原则出发，藉连续不断之思维运动，对每物具分明直观，则仍可葆确然之质；犹如知长链末环系于首环，纵不能一目尽睹中间诸环，但若依次检视后，能忆其环环相扣自首迄末。由是别直观于演绎者，以演绎涵递进之序，而直观不然......故原始命题若直接源自原则，可视认知方式，或谓直观所得，或谓演绎所获；然原则本身唯凭直观，深远推论则仅赖演绎。——笛卡尔《指导心灵之规则》（托里版《笛卡尔哲学》纽约1892），第64-65页
今诏明知无惑之术，其途二：曰直觉，曰推演。直觉者，非官感之变见，非想象之妄断，乃专一之心所得明彻之念，于所悟无疑；亦可谓正心专注自证之念，纯由理光而生，较推演尤确，为其至简......或诘：既有直觉，何须推演？盖自确知者引必至之结也。然此第二步不可废者，多物虽不自显，若自真确不争之理，以相续不断之思，每物皆明见之，则亦确然无疑；如知长链末环系首，虽不能一目尽其中诸环，然遍历后能忆其自首迄末环环相扣。是以别直觉于推演者，推演有渐进之序，而直觉无之......故直接本于理者，随观之异，或谓直觉，或谓推演；然理之本唯在直觉，深远之结则唯在推演。——笛卡尔《正心规》（托里《笛卡尔哲学》纽约1892），页六四、六五
220. 分析与自然哲学最重要的发现，皆归功于这种称为归纳的丰饶方法。牛顿的二项式定理与万有引力原理，正是受惠于此。——拉普拉斯《概率的哲学解析》（特拉斯科特与埃默里译本，纽约1902），第176页
夫析理之学与格物之道，其至要创获，多赖归纳之法，此诚开物成务之利器也。昔牛顿氏得二项式之定理，立万有引力之精义，皆由此法启牖，可谓善用其道者矣。——拉普拉斯《或然说哲学》（特拉斯科特与埃默里译本，纽约1902），页一七六