本赛季，切尔西的首发门将是德布劳内的好兄弟库尔图瓦。库尔图瓦出生于排球世家，从小接触排球，但库尔图瓦在10岁到11岁时毅然选择了足球。2009年，他转投亨克并改任守门员，正式成为职业足球运动员，从此走上了与家族不同的道路。
在2009年4月，16岁的库尔图瓦加入亨克，加盟亨克的第一个赛季，库尔图瓦并不是主力球员。
2010-11赛季，库尔图瓦坐稳了亨克主力的位置，共参加了40场联赛，在这40场联赛中库尔图瓦仅失39球，且有14场零封对手，同时帮助亨克赢得了比甲联赛冠军，使得亨克时隔9年再度问鼎冠军，库尔图瓦也获得了年度最佳比利时联赛守门员及亨克年度最佳球员两项殊荣。
2011年7月26日，库尔图瓦从亨克以360万英镑的价格转投到切尔西俱乐部，并签订了5年的合约。但此时切尔西俱乐部首发阵中已有世界级门将彼德·切赫，再加上库尔图瓦较为年轻的原因一直得不到上场机会，2011年7月27日，切尔西同样以360万英镑的价格将库尔图瓦租借至马德里竞技俱乐部使其接受磨练。
库尔图瓦在马德里竞技共效力三年，由2011至2014年，历经三个赛季。库尔图瓦在2011年获得年度最佳职业门将。2011-12赛季，库尔图瓦共出场52次，失球50个，零封24次。2012-13赛季，库尔图瓦共出场46次，失球35个，零封24次。
在整个赛季，库尔图瓦在参加的20场比赛中没有丢过一球，这创造了马竞俱乐部史上守门员连续不失球时间的新纪录，而库尔图瓦也获得了西甲官方最佳门将奖和萨莫拉奖。2012年8月31日，库尔图瓦在欧洲超级杯中随队对阵母队切尔西，在这场比赛中马竞以4比1的大比分击败切尔西，夺得了此次超级杯的冠军，这也是库尔图瓦首次随队获得欧洲超级杯冠军。
2013-14赛季，库尔图瓦共出场56次，失球40个，零封28次。在此次赛季库尔图瓦成功入选欧冠赛季最佳阵容，并获得2013年比利时海外最佳球员称号，入选本赛季ESm年度最佳阵容。
2014年夏天，库尔图瓦结束三年外借生涯，回归切尔西俱乐部，并获得了其在马德里竞技俱乐部时穿过的13号球衣，之后库尔图瓦便取代了切赫的首发位置，成功帮助球队重夺英超冠军，库尔图瓦再次获得2014年比利时海外最佳球员称号，同时获得2014年比利时最佳运动员称号。
2015-16赛季，库尔图瓦共出场30次，失球38个，零封6次。16场零封对手的数据也让库尔图瓦夺得了2016-17赛季英超联赛的金手套，也帮助切尔西俱乐部夺得英超冠军。
2017-18赛季，库尔图瓦在各项赛事中总计出场46次，失球47个，零封19次，库尔图瓦在足总杯决赛中帮助切尔西以1比0的比分零封曼联拿下冠军。
2018年上半季，因为库尔图瓦家人移居马德里，所以库尔图瓦有意转会皇家马德里，不想再与切尔西续约，以至于在世界杯比赛过后经常缺席训练，最后在合约还有一年的情况下，切尔西不得不同意将门将库尔图瓦以3500万欧元的高价转至西甲俱乐部皇家马德里。在2018-19赛季，库尔图瓦在整个赛季共出场35次，零封10次。
2019-20赛季，库尔图瓦共出场43次，失球32个，零封2次，库尔图瓦在西甲比赛完成17场零封，他成为自1994-95赛季法兰西斯科·布约之后首位单赛季完成17场西甲零封的皇马门将。该赛季库尔图瓦帮助皇家马德里夺得西班牙超级杯冠军和西甲联赛冠军，并入选西甲赛季最佳阵容。
2020-21赛季，库尔图瓦共出场51次，失球44个，零封21次，在西甲的出色表现使得他获得了“萨莫拉奖”。是库尔图瓦第3次获得萨莫拉奖，前两次获得该奖是在2012-13和2013-14赛季在马德里竞技俱乐部时，6年后，库尔图瓦再次拿到了萨莫拉奖，成为首个在皇家马德里和马德里竞技两个俱乐部都拿到该奖的球员。
2021-22赛季，库尔图瓦与皇马重新签订续约合同，将合同期限延至2026年。在整个赛季库尔图瓦共出场52次，失球46个，零封22次，入选本赛季西甲最佳阵容。
2024年3月20日，皇马官方消息，库尔图瓦右膝内侧半月板撕裂。
国家队方面，因为与比利时国家队主教练的矛盾，库尔图瓦错失了很多出场机会。他为比利时出场了100场比赛，其中50场零封对手。
库尔图瓦司职守门员,各方面的技术都很完美，很少会犯一些低级错误，善于接空中球和地面球，几乎没有弱点，为世界球坛的现役最佳守门员之一。